Calcule
de
a
ao longo
© da poligonal de vértices:
e
© da poligonal de vértices:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha
de
até
ao longo da poligonal com vértices em
,
,
e
. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais de linha no campo vetorial, e vamos precisar parametrizar cada trecho da poligonal para calcular a integral em cada segmento.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a poligonal em três segmentos:
- De
até - De
até - De
até
Vamos calcular a integral em cada um desses segmentos e depois somar os resultados.
Passo 3
Segmento 1: De
até
Para parametrizar esse trecho, vamos usar um parâmetro
que varia de
a
:
Assim,
e
.
Agora, substituindo na integral:
Vamos simplificar e integrar:
Passo 4
Segmento 2: De
até
Aqui, o
permanece constante em
, e
varia de
a
. Podemos parametrizar com
de
a
:
Então,
e
.
Substituindo na integral:
Passo 5
Segmento 3: De
até
Neste trecho, o
permanece constante em
, e
varia de
a
. Vamos parametrizar com
de
a
:
Portanto,
e
.
Substituindo na integral:
Resposta
Somando as integrais dos três segmentos:
Portanto, o valor final da integral é
.
Exercícios relacionados
Seja
a interseção do cilindro
com o semiplano
, percorrida de modo que sua projeção no plano
tenha sentido anti-horário e seja
. Calcule a integral
.
Calcule
, do ponto
ao ponto
, ao longo dos seguintes caminhos:
(a) segmento de reta
(a) segmento de reta
Calcule
de
a
, ao longo
(b) do arco de parábola
(b) do arco de parábola
Calcule
de
a
, ao longo
© do arco de circunferência , orientado no sentido anti-horário.
© do arco de circunferência