Calcule integralC x d x+x^2 d y de (-1,0) a (1,0) ao longo
© da poligonal de vértices: (-1,0),(0,1),(1,1) e (1,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha integralC x, dx + x^2, dy de (-1,0) até (1,0) ao longo da poligonal com vértices em (-1,0), (0,1), (1,1) e (1,0). A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais de linha no campo vetorial, e vamos precisar parametrizar cada trecho da poligonal para calcular a integral em cada segmento.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a poligonal em três segmentos:
  1. De (-1,0) até (0,1)
  2. De (0,1) até (1,1)
  3. De (1,1) até (1,0)
Vamos calcular a integral em cada um desses segmentos e depois somar os resultados.

Passo 3

Segmento 1: De (-1,0) até (0,1)
Para parametrizar esse trecho, vamos usar um parâmetro t que varia de 0 a 1:
x(t) = -1 + t(0 - (-1)) = -1 + t
y(t) = 0 + t(1 - 0) = t
Assim, dx = dxdt, dt = 1, dt e dy = dydt, dt = 1, dt.
Agora, substituindo na integral:
integral0^1 [x(t) cdot dx + x(t)^2 cdot dy] = integral0^1 [(-1 + t) cdot 1 + (-1 + t)^2 cdot 1], dt
Vamos simplificar e integrar:
integral0^1 (-1 + t + 1 - 2t + t^2), dt = integral0^1 (-t + t^2), dt = [-t^22 + t^33]0^1 = -12 + 13 = -16

Passo 4

Segmento 2: De (0,1) até (1,1)
Aqui, o y permanece constante em 1, e x varia de 0 a 1. Podemos parametrizar com t de 0 a 1:
x(t) = t
y(t) = 1
Então, dx = dxdt, dt = 1, dt e dy = 0, dt.
Substituindo na integral:
integral0^1 [x(t) cdot dx + x(t)^2 cdot dy] = integral0^1 [t cdot 1 + t^2 cdot 0], dt = integral0^1 t, dt = [t^22]0^1 = 12

Passo 5

Segmento 3: De (1,1) até (1,0)
Neste trecho, o x permanece constante em 1, e y varia de 1 a 0. Vamos parametrizar com t de 0 a 1:
x(t) = 1
y(t) = 1 - t
Portanto, dx = 0, dt e dy = -1, dt.
Substituindo na integral:
integral0^1 [x(t) cdot dx + x(t)^2 cdot dy] = integral0^1 [1 cdot 0 + 1^2 cdot (-1)], dt = integral0^1 (-1), dt = -1

Resposta

Somando as integrais dos três segmentos:
-16 + 12 - 1 = -16 + 36 - 66 = -46 = -23
Portanto, o valor final da integral é -23.

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