Calcule integralc F d r ao longo da curva C. (Ex 37 a 40)
10.3. F(x, y)=(x^2+y^2)^-32(x i+y j)
C: r(t)=e^t sen t i+e^t cos t j (0 <= t <= 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha ao longo da curva . Aqui, o campo vetorial é dado por e a curva é parametrizada por para . Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo vetorial, especificamente a parametrização de curvas e o cálculo de integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar o campo vetorial x = e^t sin t y = e^t cos t ao longo da curva x^2 + y^2 = e^2t (sin^2 t + cos^2 t) = e^2t cdot 1 = e^2t . Isso significa substituir as coordenadas F(r(t)) = e^t sin t i + e^t cos t j(e^2t)^32 = sin t i + cos t je^2t e na expressão de pelas funções dadas por .
Temos:
Então,
Portanto,

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada da posição ddt[e^t sin t] = e^t sin t + e^t cos t ddt[e^t cos t] = e^t cos t - e^t sin t em relação a r'(t) = (e^t (sin t + cos t)) i + (e^t (cos t - sin t)) j , ou seja, . Isso nos dá a velocidade ao longo da curva.
Derivando cada componente:
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar F(r(t)) cdot r'(t) = (sin te^2t i + cos te^2t j) cdot (e^t (sin t + cos t) i + e^t (cos t - sin t) j) . Esse passo é crucial porque a integral de linha envolve exatamente esse produto escalar.
= sin t cdot e^t (sin t + cos t) + cos t cdot e^t (cos t - sin t)e^2t
= e^t (sin^2 t + sin t cos t + cos^2 t - sin t cos t)e^2t
= e^t (sin^2 t + cos^2 t)e^2t = e^te^2t = e^-t
Depois de simplificar, percebemos que o produto escalar resulta em .

Passo 5

Por fim, vamos integrar esse resultado de integral0^1 2 e^-t dt = 2 [-e^-t]0^1 = 2 (-e^-1 + e^0) = 2 (1 - e^-1) a .

Resposta

A integral é igual a .

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