Calcule
ao longo da curva C. (Ex 37 a 40)
10.3.
10.3.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
ao longo da curva
. Aqui, o campo vetorial
é dado por
e a curva
é parametrizada por
para
. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo vetorial, especificamente a parametrização de curvas e o cálculo de integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar o campo vetorial
ao longo da curva
. Isso significa substituir as coordenadas
e
na expressão de
pelas funções dadas por
.
Temos:
Então,
Portanto,
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada da posição
em relação a
, ou seja,
. Isso nos dá a velocidade ao longo da curva.
Derivando cada componente:
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto escalar
. Esse passo é crucial porque a integral de linha envolve exatamente esse produto escalar.
Depois de simplificar, percebemos que o produto escalar resulta em
.
Passo 5
Por fim, vamos integrar esse resultado de
a
.
Resposta
A integral
é igual a
.