Calcule a massa de um arame fino com o formato da curva se a função de densidade for proporcional à distância acima do plano . (Ex 44)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a massa de um arame fino que segue a curva definida pelas equações paramétricas:
A função de densidade desse arame é proporcional à distância acima do plano XY, ou seja, proporcional a . Para resolver esse problema, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especialmente integração de funções paramétricas para determinar a massa.
Passo 2
Primeiro, vamos reconhecer que a densidade é proporcional a . Podemos expressar isso como:
onde é a constante de proporcionalidade. Para simplificar, assumiremos , já que não foi especificado no problema.
Passo 3
A massa de um arame fino é dada pela integral da densidade ao longo do comprimento do arame. Em termos de cálculo, isso é representado por:
onde:
é a parametrização da curva,
é a derivada da parametrização em relação a ,
é o módulo da derivada, também conhecido como o elemento de comprimento.
Passo 4
Vamos encontrar a derivada :
Passo 5
Agora, calculamos o módulo de :
Passo 6
Substituímos e na expressão da massa:
Aqui, , que é a distância acima do plano XY.
Passo 7
A integral resultante pode não ter uma solução fechada simples, então a massa será expressa como: