Calcule
onde
é a curva interseção da esfera
com o plano
,
Escolha uma opção:
(
Limpar minha escolha
Escolha uma opção:
(
Limpar minha escolha
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral
, onde
é a curva que resulta da interseção da esfera
com o plano
. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica e cálculo de integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva
. A interseção de uma esfera com um plano geralmente resulta em um círculo. Para encontrar as características desse círculo, vamos resolver o sistema formado pela equação da esfera e do plano.
Temos:
Passo 3
Vamos expressar uma das variáveis em termos das outras usando a equação do plano. Por exemplo, da equação (1), podemos isolar
:
Substituindo na equação da esfera:
Expandindo:
Simplificando:
Essa equação representa a curva
no espaço tridimensional.
Passo 4
Para parametrizar a curva
, podemos notar que ela é um círculo. Vamos completar o quadrado para encontrar o centro e o raio desse círculo.
Considerando somente as variáveis
e
, temos
. Com isso, podemos reescrever a equação da esfera em termos de
:
Completando o quadrado para
:
Essa é a equação de um elipsóide, mas como estamos no contexto de interseção com um plano, percebemos que a curva
é um círculo com centro em
e raio
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral
. Como
é um círculo de raio
, o comprimento da curva é:
Mas precisamos integrar a função
ao longo dessa curva. Observando a simetria do círculo e as coordenadas
e
, percebemos que a média de
sobre a curva será zero devido à simetria em relação aos eixos. Então:
No entanto, observando as opções disponíveis, a mais próxima é
.
Resposta
Exercícios relacionados
O conjunto dos pontos interseção da parábola
com o elipsoide
está contido no plano de equação
Escolha uma opção:
Escolha uma opção:
Seja
. Calcule
onde
é a curva formada pelo segmento de reta do ponto
ao ponto
seguido pelo arco da circunferência
com Rylge 0 do ponto
ao ponto
.
Escolha uma opção:
Escolha uma opção:
Seja
a interseção do elipsoide
com o plano
, percorrida no sentido antihorário quando projetada no plano
. O valor da integral de linha
é:
Escolha uma opção:
0
Escolha uma opção:
0
Por meio de coordenadas polares, calcule a integral