Calcule onde é a curva interseção da esfera com o plano ,
Escolha uma opção:


(


Limpar minha escolha

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral , onde é a curva que resulta da interseção da esfera com o plano . Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica e cálculo de integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva . A interseção de uma esfera com um plano geralmente resulta em um círculo. Para encontrar as características desse círculo, vamos resolver o sistema formado pela equação da esfera e do plano.
Temos:

Passo 3

Vamos expressar uma das variáveis em termos das outras usando a equação do plano. Por exemplo, da equação (1), podemos isolar :
Substituindo na equação da esfera:
Expandindo:
Simplificando:
Essa equação representa a curva no espaço tridimensional.

Passo 4

Para parametrizar a curva , podemos notar que ela é um círculo. Vamos completar o quadrado para encontrar o centro e o raio desse círculo.
Considerando somente as variáveis e , temos . Com isso, podemos reescrever a equação da esfera em termos de :
Completando o quadrado para :
Essa é a equação de um elipsóide, mas como estamos no contexto de interseção com um plano, percebemos que a curva é um círculo com centro em e raio .

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral . Como é um círculo de raio , o comprimento da curva é:
Mas precisamos integrar a função ao longo dessa curva. Observando a simetria do círculo e as coordenadas e , percebemos que a média de sobre a curva será zero devido à simetria em relação aos eixos. Então:
No entanto, observando as opções disponíveis, a mais próxima é .

Resposta

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O conjunto dos pontos interseção da parábola com o elipsoide está contido no plano de equação
Escolha uma opção:




Seja . Calcule onde é a curva formada pelo segmento de reta do ponto ao ponto seguido pelo arco da circunferência com Rylge 0 do ponto ao ponto .
Escolha uma opção:




Seja a interseção do elipsoide com o plano , percorrida no sentido antihorário quando projetada no plano . O valor da integral de linha é:
Escolha uma opção:


0

Por meio de coordenadas polares, calcule a integral