Seja C a interseção do elipsoide 3 x^2+y^2+z^2=1 com o plano z=x, percorrida no sentido antihorário quando projetada no plano x y. O valor da integral de linha integralC x d x+(z-2 x) d y+y(4 x^2+y^2) d z é:
Escolha uma opção:
-pi
-2 pi
0
pi
2 pi

Passo 1

Vamos resolver este exercício que envolve cálculo de integrais de linha em geometria tridimensional. Precisamos calcular a integral de linha ao longo da curva , que é a interseção do elipsoide com o plano . Para isso, utilizaremos conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Stokes, que relaciona integrais de linha a integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, identificamos a curva 3x^2 + y^2 + x^2 = 1 Rightarrow 4x^2 + y^2 = 1 como a interseção do elipsoide com o plano . Substituindo por na equação do elipsoide, temos:
Esta é a equação de uma elipse no plano .

Passo 3

Parametrizamos a curva x = 12 cos theta, y = sin theta, theta in [0, 2pi] de forma a facilitar o cálculo da integral. Podemos usar coordenadas paramétricas para uma elipse:
z = 12 cos theta
Como , então:

Passo 4

Calculamos os diferenciais dx = -12 sin theta , dtheta, dy = cos theta , dtheta, dz = -12 sin theta , dtheta :

Passo 5

Substituímos integralC x , dx + (z - 2x) , dy + y(4x^2 + y^2) , dz na integral original:
integral0^2pi ( 12 cos theta cdot (-12 sin theta ) + ( 12 cos theta - 2 cdot 12 cos theta ) cdot cos theta + sin theta (4 cdot (12 cos theta)^2 + sin^2 theta ) cdot (-12 sin theta ) ) dtheta
Substituindo:

Passo 6

Simplificamos a expressão dentro da integral:
integral0^2pi ( -14 cos theta sin theta + ( 12 cos theta - cos theta ) cos theta + sin theta ( cos^2 theta + sin^2 theta ) cdot (-12 sin theta ) ) dtheta
Simplificando mais:
integral0^2pi ( -14 cos theta sin theta - 12 cos^2 theta - 12 sin^2 theta ) dtheta

Passo 7

Integramos termo a termo:
-14 integral0^2pi cos theta sin theta , dtheta - 12 integral0^2pi cos^2 theta , dtheta - 12 integral0^2pi sin^2 theta , dtheta
Sabemos que:
integral0^2pi cos theta sin theta , dtheta = 0, integral0^2pi cos^2 theta , dtheta = integral0^2pi sin^2 theta , dtheta = pi
Portanto:
0 - 12 pi - 12 pi = -pi

Resposta

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