Seja
a interseção do elipsoide
com o plano
, percorrida no sentido antihorário quando projetada no plano
. O valor da integral de linha
é:
Escolha uma opção:
0
Escolha uma opção:
0
Passo 1
Vamos resolver este exercício que envolve cálculo de integrais de linha em geometria tridimensional. Precisamos calcular a integral de linha ao longo da curva
, que é a interseção do elipsoide
com o plano
. Para isso, utilizaremos conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Stokes, que relaciona integrais de linha a integrais de superfície.
Passo 2
Primeiro, identificamos a curva
como a interseção do elipsoide
com o plano
. Substituindo
por
na equação do elipsoide, temos:
Esta é a equação de uma elipse no plano
.
Passo 3
Parametrizamos a curva
de forma a facilitar o cálculo da integral. Podemos usar coordenadas paramétricas para uma elipse:
Como
, então:
Passo 4
Calculamos os diferenciais
:
Passo 5
Substituímos
na integral original:
Substituindo:
Passo 6
Simplificamos a expressão dentro da integral:
Simplificando mais:
Passo 7
Integramos termo a termo:
Sabemos que:
Portanto:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule
onde
é a curva interseção da esfera
com o plano
,
Escolha uma opção:
(
Limpar minha escolha
Escolha uma opção:
(
Limpar minha escolha
O conjunto dos pontos interseção da parábola
com o elipsoide
está contido no plano de equação
Escolha uma opção:
Escolha uma opção:
Por meio de coordenadas polares, calcule a integral
Por meio de coordenadas polares, calcule a integral
limitada pelo semicírculo
e o eixo