Seja a interseção do elipsoide com o plano , percorrida no sentido antihorário quando projetada no plano . O valor da integral de linha é:
Escolha uma opção:


0

Passo 1

Vamos resolver este exercício que envolve cálculo de integrais de linha em geometria tridimensional. Precisamos calcular a integral de linha ao longo da curva , que é a interseção do elipsoide com o plano . Para isso, utilizaremos conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Stokes, que relaciona integrais de linha a integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, identificamos a curva como a interseção do elipsoide com o plano . Substituindo por na equação do elipsoide, temos:
Esta é a equação de uma elipse no plano .

Passo 3

Parametrizamos a curva de forma a facilitar o cálculo da integral. Podemos usar coordenadas paramétricas para uma elipse:
Como , então:

Passo 4

Calculamos os diferenciais :

Passo 5

Substituímos na integral original:
Substituindo:

Passo 6

Simplificamos a expressão dentro da integral:
Simplificando mais:

Passo 7

Integramos termo a termo:
Sabemos que:
Portanto:

Resposta

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Calcule onde é a curva interseção da esfera com o plano ,
Escolha uma opção:


(


Limpar minha escolha
O conjunto dos pontos interseção da parábola com o elipsoide está contido no plano de equação
Escolha uma opção:




Por meio de coordenadas polares, calcule a integral
Por meio de coordenadas polares, calcule a integral limitada pelo semicírculo e o eixo