Por meio de coordenadas polares, calcule a integral
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral usando coordenadas polares! O enunciado pede para calcular a integral dupla
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com mudança de coordenadas para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos
indo de 0 a 2 e, para cada
,
vai de 0 a
. Isso descreve um quarto de círculo com raio 2 no primeiro quadrante.
Passo 3
Como a região é um quarto de círculo, é melhor mudar para coordenadas polares. Lembrando que:
-
-
- O elemento de área
transforma-se em
Passo 4
Vamos determinar os novos limites de integração em coordenadas polares:
-
varia de 0 a 2 (raio do círculo) -
varia de 0 a (primeiro quadrante)
Passo 5
Substituindo na integral original:
Passo 6
Vamos resolver a integral com relação a
primeiro:
Fazendo a substituição
, então
ou
.
Passo 7
A integral se torna:
Passo 8
Agora, integramos com relação a
:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Seja
a interseção do elipsoide
com o plano
, percorrida no sentido antihorário quando projetada no plano
. O valor da integral de linha
é:
Escolha uma opção:
0
Escolha uma opção:
0
Calcule
onde
é a curva interseção da esfera
com o plano
,
Escolha uma opção:
(
Limpar minha escolha
Escolha uma opção:
(
Limpar minha escolha
Por meio de coordenadas polares, calcule a integral
limitada pelo semicírculo
e o eixo
Esboce o sólido no primeiro octante delimitado pelos gráficos das equações e ache seu volume: