Por meio de coordenadas polares, calcule a integral integral0^2 integral0^raiz4-y^2 cos (x^2+y^2) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando coordenadas polares! O enunciado pede para calcular a integral dupla integral0^2 integral0^raiz4-y^2 cos (x^2+y^2) dx dy. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com mudança de coordenadas para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos y indo de 0 a 2 e, para cada y, x vai de 0 a raiz4 - y^2. Isso descreve um quarto de círculo com raio 2 no primeiro quadrante.

Passo 3

Como a região é um quarto de círculo, é melhor mudar para coordenadas polares. Lembrando que:
  • x = r costheta
  • y = r sintheta
  • O elemento de área dx dy transforma-se em r dr dtheta

Passo 4

Vamos determinar os novos limites de integração em coordenadas polares:
  • r varia de 0 a 2 (raio do círculo)
  • theta varia de 0 a pi2 (primeiro quadrante)

Passo 5

Substituindo na integral original:
integral0^2 integral0^raiz4-y^2 cos (x^2+y^2) dx dy = integral0^pi2 integral0^2 cos(r^2) cdot r , dr , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral com relação a r primeiro:
integral0^2 r cos(r^2) dr
Fazendo a substituição u = r^2, então du = 2r dr ou du2 = r dr.

Passo 7

A integral se torna:
12 integral0^4 cos(u) du = 12 [sin(u)]0^4 = 12 (sin(4) - sin(0)) = 12 sin(4)

Passo 8

Agora, integramos com relação a theta:
integral0^pi2 12 sin(4) dtheta = 12 sin(4) cdot [theta]0^pi2 = 12 sin(4) cdot pi2 = pi4 sin(4)

Resposta

O valor da integral é pi4 sin(4).

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