Por meio de coordenadas polares, calcule a integral

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando coordenadas polares! O enunciado pede para calcular a integral dupla . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com mudança de coordenadas para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos indo de 0 a 2 e, para cada , vai de 0 a . Isso descreve um quarto de círculo com raio 2 no primeiro quadrante.

Passo 3

Como a região é um quarto de círculo, é melhor mudar para coordenadas polares. Lembrando que:
  • O elemento de área transforma-se em

Passo 4

Vamos determinar os novos limites de integração em coordenadas polares:
  • varia de 0 a 2 (raio do círculo)
  • varia de 0 a (primeiro quadrante)

Passo 5

Substituindo na integral original:

Passo 6

Vamos resolver a integral com relação a primeiro:
Fazendo a substituição , então ou .

Passo 7

A integral se torna:

Passo 8

Agora, integramos com relação a :

Resposta

O valor da integral é .

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Seja a interseção do elipsoide com o plano , percorrida no sentido antihorário quando projetada no plano . O valor da integral de linha é:
Escolha uma opção:


0

Calcule onde é a curva interseção da esfera com o plano ,
Escolha uma opção:


(


Limpar minha escolha
Por meio de coordenadas polares, calcule a integral limitada pelo semicírculo e o eixo
Esboce o sólido no primeiro octante delimitado pelos gráficos das equações e ache seu volume: