O conjunto dos pontos interseção da parábola com o elipsoide está contido no plano de equação
Escolha uma opção:




Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando aqui! Temos uma parábola dada por e um elipsoide com a equação . A missão é encontrar a equação do plano que contém todos os pontos onde a parábola e o elipsoide se cruzam. Para isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica e um pouco de Álgebra.

Passo 2

Primeiro passo: encontrar os pontos de interseção entre a parábola e o elipsoide. Para isso, substituímos as coordenadas da parábola na equação do elipsoide. Ou seja, substituímos , e na equação do elipsoide:

Passo 3

Vamos simplificar a equação:
Dividindo todos os termos por 2 para simplificar:
Rearranjando os termos:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação quadrática em termos de . Vamos chamar , então a equação fica:
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, temos duas soluções:
Como não pode ser negativo, descartamos . Assim, , o que nos dá ou .

Passo 5

Com os valores de encontrados, vamos determinar as coordenadas dos pontos de interseção:
Para :
Para :

Passo 6

Esses dois pontos devem estar no plano que estamos procurando. Vamos supor que a equação do plano seja . Substituindo os pontos na equação:
Para :
Para :
Subtraindo as duas equações:
Vamos escolher , então . Voltando à primeira equação:
Substituindo esses valores na equação do plano:
Escolhendo , temos:

Resposta

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Seja . Calcule onde é a curva formada pelo segmento de reta do ponto ao ponto seguido pelo arco da circunferência com Rylge 0 do ponto ao ponto .
Escolha uma opção:




Seja a elipse percorrida no sentido anti-horário e apenas uma vez. 0 valor da integral é:
Escolha uma opção:


(


Limpar minha escolha
Calcule onde é a curva interseção da esfera com o plano ,
Escolha uma opção:


(


Limpar minha escolha
Seja a interseção do elipsoide com o plano , percorrida no sentido antihorário quando projetada no plano . O valor da integral de linha é:
Escolha uma opção:


0