O conjunto dos pontos interseção da parábola r(t) = t i + t j + t^2 k com o elipsoide x^2 + y^2 + 2 z^2 = 4 está contido no plano de equação
Escolha uma opção:
x = 1
x + y - z = 0
x - y + z = 1
x - y + z = 0
x + y - z = 1

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando aqui! Temos uma parábola dada por e um elipsoide com a equação . A missão é encontrar a equação do plano que contém todos os pontos onde a parábola e o elipsoide se cruzam. Para isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica e um pouco de Álgebra.

Passo 2

Primeiro passo: encontrar os pontos de interseção entre a parábola e o elipsoide. Para isso, substituímos as coordenadas da parábola na equação do elipsoide. Ou seja, substituímos , e na equação do elipsoide:

Passo 3

Vamos simplificar a equação:
Dividindo todos os termos por 2 para simplificar:
Rearranjando os termos:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação quadrática em termos de t^2. Vamos chamar , então a equação fica:
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, temos duas soluções:
Como não pode ser negativo, descartamos . Assim, , o que nos dá ou .

Passo 5

Com os valores de t encontrados, vamos determinar as coordenadas dos pontos de interseção:
Para :
Para :

Passo 6

Esses dois pontos devem estar no plano que estamos procurando. Vamos supor que a equação do plano seja . Substituindo os pontos na equação:
Para :
Para :
Subtraindo as duas equações:
Vamos escolher , então . Voltando à primeira equação:
Substituindo esses valores na equação do plano:
Escolhendo , temos:

Resposta

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