O conjunto dos pontos interseção da parábola
com o elipsoide
está contido no plano de equação
Escolha uma opção:
Escolha uma opção:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está rolando aqui! Temos uma parábola dada por
e um elipsoide com a equação
. A missão é encontrar a equação do plano que contém todos os pontos onde a parábola e o elipsoide se cruzam. Para isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica e um pouco de Álgebra.
Passo 2
Primeiro passo: encontrar os pontos de interseção entre a parábola e o elipsoide. Para isso, substituímos as coordenadas da parábola na equação do elipsoide. Ou seja, substituímos
,
e
na equação do elipsoide:
Passo 3
Vamos simplificar a equação:
Dividindo todos os termos por 2 para simplificar:
Rearranjando os termos:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação quadrática em termos de
. Vamos chamar
, então a equação fica:
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, temos duas soluções:
Como
não pode ser negativo, descartamos
. Assim,
, o que nos dá
ou
.
Passo 5
Com os valores de
encontrados, vamos determinar as coordenadas dos pontos de interseção:
Para
:
Para
:
Passo 6
Esses dois pontos devem estar no plano que estamos procurando. Vamos supor que a equação do plano seja
. Substituindo os pontos na equação:
Para
:
Para
:
Subtraindo as duas equações:
Vamos escolher
, então
. Voltando à primeira equação:
Substituindo esses valores na equação do plano:
Escolhendo
, temos:
Resposta
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Seja
. Calcule
onde
é a curva formada pelo segmento de reta do ponto
ao ponto
seguido pelo arco da circunferência
com Rylge 0 do ponto
ao ponto
.
Escolha uma opção:
Escolha uma opção:
Seja
a elipse
percorrida no sentido anti-horário e apenas uma vez. 0 valor da integral
é:
Escolha uma opção:
(
Limpar minha escolha
Escolha uma opção:
(
Limpar minha escolha
Calcule
onde
é a curva interseção da esfera
com o plano
,
Escolha uma opção:
(
Limpar minha escolha
Escolha uma opção:
(
Limpar minha escolha
Seja
a interseção do elipsoide
com o plano
, percorrida no sentido antihorário quando projetada no plano
. O valor da integral de linha
é:
Escolha uma opção:
0
Escolha uma opção:
0