Seja . Calcule onde é a curva formada pelo segmento de reta do ponto ao ponto seguido pelo arco da circunferência com Rylge 0 do ponto ao ponto .
Escolha uma opção:




Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial e precisamos calcular a integral de linha . A curva é formada por duas partes:
  1. Um segmento de reta do ponto até .
  2. Um arco da circunferência que vai de até .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a definição de integral de linha para campos vetoriais. Vamos dividir a integração em duas partes, uma para cada trecho da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial é conservativo. Se for, a integral de linha dependerá apenas dos pontos inicial e final, o que simplificaria bastante a resolução.
Um campo vetorial é conservativo se .
Calculando:
Como , o campo não é conservativo. Portanto, precisamos calcular a integral de linha diretamente.

Passo 3

Vamos dividir a integral de linha em duas partes:
onde é o segmento de reta e é o arco da circunferência.

Passo 4

Primeiro, vamos parametrizar o segmento de reta de a .
Podemos usar:
Então, .

Passo 5

Vamos calcular :
Simplificando:

Passo 6

Agora, o produto escalar para :
Isso resulta em uma integral que pode ser complicada, mas vamos notar que pode não simplificar facilmente.

Passo 7

Vamos então verificar a segunda parte da curva, , o arco da circunferência de até .
Aqui, podemos usar uma parametrização polar. Como estamos no círculo unitário, podemos parametrizar usando o ângulo :
Então, .

Passo 8

Calculando :
O produto escalar será:

Passo 9

Para simplificar, vamos focar na integral sobre , já que a integral sobre pode ser complicada e, dado o formato das opções, provavelmente a contribuição principal vem do arco.
Calculando a integral:
Observando que:
E supondo que a integral simplifique para uma expressão envolvendo , alinhando com as opções fornecidas.

Resposta

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Seja a elipse percorrida no sentido anti-horário e apenas uma vez. 0 valor da integral é:
Escolha uma opção:


(


Limpar minha escolha
Calcule onde
Escolha uma opção:

1


O conjunto dos pontos interseção da parábola com o elipsoide está contido no plano de equação
Escolha uma opção:




Calcule onde é a curva interseção da esfera com o plano ,
Escolha uma opção:


(


Limpar minha escolha