Calcule integralC(x y-z) d x+e^x d y+y d z, onde C é a curva r(t)=(t+1) i+t^2 j+t^3 k, entre 0 <= t <= 2.
Sol. 2 e^3+2 e+32815

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de linha , onde é uma curva definida por para . Vamos usar cálculo vetorial, especificamente a parametrização de curvas, para resolver isso. Precisamos das expressões de , , e de suas derivadas para substituir na integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes da curva x(t) = t + 1, y(t) = t^2, z(t) = t^3 :
Essas funções nos mostram como , e variam conforme varia de 0 a 2.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas dessas funções em relação a dxdt = 1, dydt = 2t, dzdt = 3t^2 , que nos darão , e :
Essas derivadas são essenciais para substituir na integral de linha.

Passo 4

Substituímos todas as expressões na integral:
integralC (x y - z) dx + e^x dy + y dz = integral0^2 [ ( (t + 1)(t^2) - t^3 ) cdot 1 + e^t + 1 cdot 2t + t^2 cdot 3t^2 ] dt
Vamos simplificar cada termo dentro da integral:
  1. integral0^2 ( t^2 + 2t e^t + 1 + 3t^4 ) dt
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. 2(3 - 2)e^3 - 2(1 - 2)e^1 = 2e^3 + 2e
  2. Para , fazemos uma substituição:
    • Seja , então
    • A integral se torna
    • Integrando por partes, obtemos
    • Avaliando de 1 a 3:

Passo 6

Agora, somamos os resultados das integrais:
83 + 2e^3 + 2e + 965
Para somar as frações, colocamos em denominador comum:
83 + 965 = 4015 + 28815 = 32815
Então, a soma total fica:
2e^3 + 2e + 32815

Resposta

2 e^3 + 2 e + 32815

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