Calcule
, onde
é a curva
, entre
.
Sol.
Sol.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de linha
, onde
é uma curva definida por
para
. Vamos usar cálculo vetorial, especificamente a parametrização de curvas, para resolver isso. Precisamos das expressões de
,
,
e de suas derivadas para substituir na integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes da curva
:
Essas funções nos mostram como
,
e
variam conforme
varia de 0 a 2.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas dessas funções em relação a
, que nos darão
,
e
:
Essas derivadas são essenciais para substituir na integral de linha.
Passo 4
Substituímos todas as expressões na integral:
Vamos simplificar cada termo dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos integrar cada termo separadamente:
-
-
Para
, fazemos uma substituição:- Seja
, então - A integral se torna
- Integrando por partes, obtemos
- Avaliando de 1 a 3:
- Seja
-
Passo 6
Agora, somamos os resultados das integrais:
Para somar as frações, colocamos em denominador comum:
Então, a soma total fica: