Resolva os limites a seguir:
lim x 0 tg x-sen xx^3
R.: 1/2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim x 0 tan x - sin xx^3
Esse exercício está dentro do estudo de limites em cálculo, especificamente lidando com funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar conhecer as séries de Taylor ou as aproximações de e perto de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das expansões de sin x = x - x^36 + x^5120 - dots e tan x = x + x^33 + 2x^515 + dots em série de Taylor em torno de 0:
Essas séries nos ajudam a aproximar as funções para valores pequenos de .

Passo 3

Agora, vamos calcular tan x - sin x = (x + x^33 + dots) - (x - x^36 + dots) usando as expansões acima:
tan x - sin x = x^33 + x^36 + dots = x^32 + dots
Simplificando:

Passo 4

Substituindo lim x 0 tan x - sin xx^3 = lim x 0 x^32 + dotsx^3 na expressão original do limite:

Passo 5

Dividindo cada termo do numerador por lim x 0 x^32x^3 + dots = lim x 0 12 + dots :
Como os termos adicionais tendem a zero quando tende a zero, o limite é:

Resposta

12

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