Seja F = (2 z^5 - 3 x y) i - x^2 j + x^2 z k. Calcule a integral de linha de F em torno do perímetro do quadrado com vértices (1, 1, 3), (-1, 1, 3), (-1, -1, 3) e (1, -1, 3), orientado no sentido anti-horário em torno do eixo z.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A gente precisa calcular a integral de linha do campo vetorial ao redor do perímetro de um quadrado no espaço, com vértices em (1, 1, 3), , e (1, -1, 3). Para isso, vamos usar o teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial fechado a uma integral de superfície do rotacional desse campo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional de F, denotado por , mede a circulação do campo em cada ponto do espaço. Calculamos ele usando a seguinte fórmula:

Passo 3

Vamos calcular cada componente do rotacional de F:
  • Componente i:
Portanto, a componente i é .
  • Componente j:
Portanto, a componente j é .
  • Componente k:
Portanto, a componente k é .
Então, o rotacional de F é:

Passo 4

Agora, vamos aplicar o teorema de Stokes. Precisamos escolher uma superfície S cujo bordo seja o caminho do quadrado dado. Como o quadrado está no plano z = 3, podemos escolher essa própria face plana como superfície.
A orientação da superfície deve ser compatível com a orientação do caminho. Como o caminho é anti-horário quando visto do eixo z, a normal à superfície será na direção positiva de k, ou seja, .

Passo 5

Vamos calcular a integral de superfície do rotacional de F vezes a normal:
Aqui, só a componente k do rotacional contribui, já que .

Passo 6

Como a superfície S é o quadrado no plano z = 3 com vértices de a 1 e a 1, os limites de integração para x e y são de -1 a 1.
Então, a integral fica:
Primeiro, integramos em y:
Agora, integramos em x:

Resposta

A integral de linha de F ao redor do quadrado dado é igual a 0.

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