Seja
. Calcule a integral de linha de
em torno do perímetro do quadrado com vértices
e
, orientado no sentido anti-horário em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A gente precisa calcular a integral de linha do campo vetorial
ao redor do perímetro de um quadrado no espaço, com vértices em
,
,
e
. Para isso, vamos usar o teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial fechado a uma integral de superfície do rotacional desse campo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional de
, denotado por
, mede a circulação do campo em cada ponto do espaço. Calculamos ele usando a seguinte fórmula:
Passo 3
Vamos calcular cada componente do rotacional de
:
- Componente
:
Portanto, a componente
é
.
- Componente
:
Portanto, a componente
é
.
- Componente
:
Portanto, a componente
é
.
Então, o rotacional de
é:
Passo 4
Agora, vamos aplicar o teorema de Stokes. Precisamos escolher uma superfície
cujo bordo seja o caminho do quadrado dado. Como o quadrado está no plano
, podemos escolher essa própria face plana como superfície.
A orientação da superfície deve ser compatível com a orientação do caminho. Como o caminho é anti-horário quando visto do eixo
, a normal à superfície será na direção positiva de
, ou seja,
.
Passo 5
Vamos calcular a integral de superfície do rotacional de
vezes a normal:
Aqui, só a componente
do rotacional contribui, já que
.
Passo 6
Como a superfície
é o quadrado no plano
com vértices de
a
e
a
, os limites de integração para
e
são de
a
.
Então, a integral fica:
Primeiro, integramos em
:
Agora, integramos em
:
Resposta
A integral de linha de
ao redor do quadrado dado é igual a
.