Calcule
, onde
e
é a elípse
, orientada no sentido antihorário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde o campo vetorial é
e
é uma elipse dada por
, percorrida no sentido antihorário. Vamos usar o cálculo vetorial, mais especificamente o Teorema de Green, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o campo
é conservativo. Um campo é conservativo se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Aqui,
e
.
Calculando as derivadas:
Como
, o campo não é conservativo. Então, vamos usar o Teorema de Green.
Passo 3
O Teorema de Green relaciona uma integral de linha fechada ao redor de uma região
com uma integral dupla sobre
. A fórmula é:
Vamos calcular
:
Então, nossa integral dupla fica:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a área da região
delimitada pela elipse
. A área de uma elipse é dada por:
Então, nossa integral dupla é:
Resposta
A integral
é igual a
.
Exercícios relacionados
Encontre uma função potencial para o campo
e calcule
, onde
Mostre que toda equação diferencial separável
é também exata.
Calcule
, onde
é um triângulo com vértices
e
orientado no sentido anti-horário.
Seja
. Calcule
, onde
é um quadrado de vértices
e
orientado no sentido anti-horário.