Calcule integralC F d C, onde F(x, y)=(6 y x^5-2 y, x^6) e C é a elípse x^2a^2+y^2b^2=1, orientada no sentido antihorário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de linha integralC F cdot dC, onde o campo vetorial é F(x, y) = (6 y x^5 - 2 y, x^6) e C é uma elipse dada por x^2a^2 + y^2b^2 = 1, percorrida no sentido antihorário. Vamos usar o cálculo vetorial, mais especificamente o Teorema de Green, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo F é conservativo. Um campo é conservativo se a derivada parcial de P em relação a y for igual à derivada parcial de Q em relação a x. Aqui, P = 6 y x^5 - 2 y e Q = x^6.
Calculando as derivadas:
partial Ppartial y = 6x^5 - 2
partial Qpartial x = 6x^5
Como partial Ppartial y neq partial Qpartial x, o campo não é conservativo. Então, vamos usar o Teorema de Green.

Passo 3

O Teorema de Green relaciona uma integral de linha fechada ao redor de uma região D com uma integral dupla sobre D. A fórmula é:
ointC F cdot dC = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Vamos calcular partial Qpartial x - partial Ppartial y:
6x^5 - (6x^5 - 2) = 2
Então, nossa integral dupla fica:
integral duplaD 2 , dA

Passo 4

Agora, precisamos calcular a área da região D delimitada pela elipse x^2a^2 + y^2b^2 = 1. A área de uma elipse é dada por:
Área = pi a b Á
Então, nossa integral dupla é:
2 times pi a b = 2pi a b

Resposta

A integral integralC F cdot dC é igual a 2,pi,a,b.

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