Calcule , onde e é a elípse , orientada no sentido antihorário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de linha , onde o campo vetorial é e é uma elipse dada por , percorrida no sentido antihorário. Vamos usar o cálculo vetorial, mais especificamente o Teorema de Green, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo é conservativo. Um campo é conservativo se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a . Aqui, e .
Calculando as derivadas:
Como , o campo não é conservativo. Então, vamos usar o Teorema de Green.

Passo 3

O Teorema de Green relaciona uma integral de linha fechada ao redor de uma região com uma integral dupla sobre . A fórmula é:
Vamos calcular :
Então, nossa integral dupla fica:

Passo 4

Agora, precisamos calcular a área da região delimitada pela elipse . A área de uma elipse é dada por:
Á
Então, nossa integral dupla é:

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

Encontre uma função potencial para o campo e calcule , onde
Mostre que toda equação diferencial separável
é também exata.
Calcule , onde é um triângulo com vértices e orientado no sentido anti-horário.
Seja . Calcule , onde é um quadrado de vértices e orientado no sentido anti-horário.