Mostre que toda equação diferencial separável
é também exata.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me entregou uma equação diferencial separável do tipo
e quer provar que ela também é uma equação exata. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são equações diferenciais separáveis e exatas. Vou te guiar passo a passo para mostrar essa relação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial separável. Ela é uma equação onde você pode separar as variáveis
e
de lados opostos da equação, facilitando a integração. No nosso caso, já temos essa separação implícita.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a equação de uma forma que facilite a análise de exatidão. Podemos rearranjá-la assim:
Ou seja,
Passo 4
Uma equação diferencial exata tem a forma
onde as funções
e
satisfazem a condição de exatidão:
Vamos identificar
e
na nossa equação rearranjada.
Passo 5
Comparando,
Note que
depende apenas de
e
depende apenas de
.
Passo 6
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para verificar a condição de exatidão:
porque
não depende de
.
E,
pois
não depende de
.
Passo 7
Com isso, verificamos que:
A condição de exatidão está satisfeita.
Resposta
Portanto, toda equação diferencial separável da forma
é também exata, pois satisfaz a condição de exatidão
.
Exercícios relacionados
(a) Mostre que a equação diferencial (1.30) não é exata e que
é um fator integrante da mesma.
Encontre uma função potencial para o campo
e calcule
, onde
Calcule
, onde
e
é a elípse
, orientada no sentido antihorário.