Mostre que toda equação diferencial separável
é também exata.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me entregou uma equação diferencial separável do tipo
e quer provar que ela também é uma equação exata. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são equações diferenciais separáveis e exatas. Vou te guiar passo a passo para mostrar essa relação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial separável. Ela é uma equação onde você pode separar as variáveis e de lados opostos da equação, facilitando a integração. No nosso caso, já temos essa separação implícita.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a equação de uma forma que facilite a análise de exatidão. Podemos rearranjá-la assim:
Ou seja,

Passo 4

Uma equação diferencial exata tem a forma
onde as funções e satisfazem a condição de exatidão:
Vamos identificar e na nossa equação rearranjada.

Passo 5

Comparando,
Note que depende apenas de e depende apenas de .

Passo 6

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para verificar a condição de exatidão:
porque não depende de .
E,
pois não depende de .

Passo 7

Com isso, verificamos que:
A condição de exatidão está satisfeita.

Resposta

Portanto, toda equação diferencial separável da forma é também exata, pois satisfaz a condição de exatidão .

Exercícios relacionados

(a) Mostre que a equação diferencial (1.30) não é exata e que é um fator integrante da mesma.
Encontre uma função potencial para o campo e calcule , onde
Calcule , onde e é a elípse , orientada no sentido antihorário.