Calcule
, onde
é um triângulo com vértices
e
orientado no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral de linha
, onde
é um triângulo com vértices em
,
e
, percorrido no sentido anti-horário. Esse exercício está na área de Cálculo Vetorial, especificamente envolvendo integrais de linha e o Teorema de Green. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green para transformar a integral de linha em uma integral dupla sobre a região delimitada pelo triângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes da nossa função vetorial
, onde
e
. O Teorema de Green nos diz que, para uma curva fechada
no plano, a integral de linha pode ser transformada em uma integral dupla:
Aqui,
é a região interna ao triângulo
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Primeiro, a derivada de
em relação a
:
Depois, a derivada de
em relação a
:
Agora, substituímos essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
Passo 4
Agora precisamos estabelecer os limites de integração para a região
, que é o triângulo com vértices em
,
e
. Observando o triângulo, vemos que ele está simétrico em relação ao eixo
e podemos dividir a integral em duas partes para facilitar:
Para
de
a
, os limites de
vão de
a
, já que a linha que conecta
a
tem inclinação
.
Para de
a
, os limites de
vão de
a
, já que a linha que conecta
a
tem inclinação
.
Para
Passo 5
Agora, montamos a integral dupla:
Vamos resolver cada parte separadamente.
Passo 6
Primeira parte da integral:
Integramos em relação a
:
Agora, integramos em relação a
:
Passo 7
Segunda parte da integral:
Integramos em relação a
:
Agora, integramos em relação a
:
Passo 8
Somando as duas partes da integral dupla:
Resposta
O valor da integral
é
.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
e
é a elípse
, orientada no sentido antihorário.
Encontre uma função potencial para o campo
e calcule
, onde
Seja
. Calcule
, onde
é um quadrado de vértices
e
orientado no sentido anti-horário.
Mostre que o campo vetorial
é conservativo e calcule
, onde