Calcule , onde é um triângulo com vértices e orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral de linha , onde é um triângulo com vértices em , e , percorrido no sentido anti-horário. Esse exercício está na área de Cálculo Vetorial, especificamente envolvendo integrais de linha e o Teorema de Green. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green para transformar a integral de linha em uma integral dupla sobre a região delimitada pelo triângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes da nossa função vetorial , onde e . O Teorema de Green nos diz que, para uma curva fechada no plano, a integral de linha pode ser transformada em uma integral dupla:
Aqui, é a região interna ao triângulo .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Primeiro, a derivada de em relação a :
Depois, a derivada de em relação a :
Agora, substituímos essas derivadas na expressão do Teorema de Green:

Passo 4

Agora precisamos estabelecer os limites de integração para a região , que é o triângulo com vértices em , e . Observando o triângulo, vemos que ele está simétrico em relação ao eixo e podemos dividir a integral em duas partes para facilitar:
Para de a , os limites de vão de a , já que a linha que conecta a tem inclinação .
Para de a , os limites de vão de a , já que a linha que conecta a tem inclinação .

Passo 5

Agora, montamos a integral dupla:
Vamos resolver cada parte separadamente.

Passo 6

Primeira parte da integral:
Integramos em relação a :
Agora, integramos em relação a :

Passo 7

Segunda parte da integral:
Integramos em relação a :
Agora, integramos em relação a :

Passo 8

Somando as duas partes da integral dupla:

Resposta

O valor da integral é .

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