Calcule integralC x y^2 d x+x y d y, onde C é um triângulo com vértices (0,1),(1,0) e (0,-1) orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral de linha integralC x y^2 d x + x y d y, onde C é um triângulo com vértices em (0,1), (1,0) e (0,-1), percorrido no sentido anti-horário. Esse exercício está na área de Cálculo Vetorial, especificamente envolvendo integrais de linha e o Teorema de Green. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green para transformar a integral de linha em uma integral dupla sobre a região delimitada pelo triângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes da nossa função vetorial F = (P, Q), onde P = x y^2 e Q = x y. O Teorema de Green nos diz que, para uma curva fechada C no plano, a integral de linha pode ser transformada em uma integral dupla:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Aqui, D é a região interna ao triângulo C.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Primeiro, a derivada de Q em relação a x:
partial Qpartial x = partial (x y)partial x = y
Depois, a derivada de P em relação a y:
partial Ppartial y = partial (x y^2)partial y = 2 x y
Agora, substituímos essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = y - 2 x y = y(1 - 2x)

Passo 4

Agora precisamos estabelecer os limites de integração para a região D, que é o triângulo com vértices em (0,1), (1,0) e (0,-1). Observando o triângulo, vemos que ele está simétrico em relação ao eixo x e podemos dividir a integral em duas partes para facilitar:
Para y de -1 a 0, os limites de x vão de 0 a -y, já que a linha que conecta (0,-1) a (1,0) tem inclinação 1.
Para y de 0 a 1, os limites de x vão de 0 a 1 - y, já que a linha que conecta (0,1) a (1,0) tem inclinação -1.

Passo 5

Agora, montamos a integral dupla:
integral duplaD y(1 - 2x) , dA = integral-1^0 integral0^-y y(1 - 2x) , dx , dy + integral0^1 integral0^1 - y y(1 - 2x) , dx , dy
Vamos resolver cada parte separadamente.

Passo 6

Primeira parte da integral:
integral-1^0 integral0^-y y(1 - 2x) , dx , dy
Integramos em relação a x:
integral0^-y y(1 - 2x) , dx = y [ x - x^2 ]0^-y = y [ (-y) - (-y)^2 ] = y (-y - y^2) = -y^2 - y^3
Agora, integramos em relação a y:
integral-1^0 (-y^2 - y^3) , dy = -[ y^33 + y^44 ]-1^0 = -[ 0 - ( (-1)^33 + (-1)^44 ) ] = -[ 0 - ( -13 + 14 ) ] = -( -112 ) = 112

Passo 7

Segunda parte da integral:
integral0^1 integral0^1 - y y(1 - 2x) , dx , dy
Integramos em relação a x:
integral0^1 - y y(1 - 2x) , dx = y [ x - x^2 ]0^1 - y = y [ (1 - y) - (1 - y)^2 ] = y [ 1 - y - (1 - 2y + y^2) ] = y (1 - y - 1 + 2y - y^2) = y (y - y^2) = y^2 - y^3
Agora, integramos em relação a y:
integral0^1 (y^2 - y^3) , dy = [ y^33 - y^44 ]0^1 = ( 13 - 14 ) - 0 = 13 - 14 = 112

Passo 8

Somando as duas partes da integral dupla:
112 + 112 = 212 = 16

Resposta

O valor da integral integralC x y^2 d x + x y d y é boxeddfrac16.

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