Encontre uma função potencial para o campo e calcule , onde

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma função potencial para o campo vetorial . Depois disso, precisamos calcular a integral de linha desse campo ao longo da curva para variando de 0 a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função potencial. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função escalar tal que . Ou seja, é o gradiente de . Para encontrar , vamos integrar as componentes de em relação às suas variáveis correspondentes.

Passo 3

Vamos começar integrando a primeira componente de em relação a :
Aqui, é uma função que pode depender de e , já que estamos integrando em relação a .

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a e igualar à segunda componente de :
Igualando à segunda componente de :
Isso implica que , ou seja, não depende de .

Passo 5

Agora, derivamos em relação a e igualamos à terceira componente de :
Igualando à terceira componente de :
Isso implica que , ou seja, é constante.

Passo 6

Portanto, a função potencial é:
Podemos desconsiderar a constante para simplificar, então:

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral de linha . Como é conservativo, a integral depende apenas dos valores de nos pontos final e inicial da curva .
Os pontos são:
Calculando nesses pontos:

Resposta

A integral de linha é:

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