Encontre uma função potencial para o campo F(x, y, z)=(e^y z, x z e^y z, x y e^y z) e calcule integralgamma F d gamma, onde gamma(t)=(t-1, t, t^2+1), 0 <= t <= 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma função potencial para o campo vetorial . Depois disso, precisamos calcular a integral de linha desse campo ao longo da curva para variando de 0 a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função potencial. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função escalar tal que . Ou seja, é o gradiente de . Para encontrar , vamos integrar as componentes de em relação às suas variáveis correspondentes.

Passo 3

Vamos começar integrando a primeira componente de phi(x, y, z) = integral e^yz , dx = e^yz x + C(y, z) em relação a :
Aqui, é uma função que pode depender de e , já que estamos integrando em relação a .

Passo 4

Agora, vamos derivar partial phipartial y = partialpartial y (e^yz x + C(y, z)) = x z e^yz + partial Cpartial y em relação a x z e^yz + partial Cpartial y = x z e^yz e igualar à segunda componente de :
Igualando à segunda componente de :
Isso implica que , ou seja, não depende de .

Passo 5

Agora, derivamos partial phipartial z = partialpartial z (e^yz x + C(z)) = x y e^yz + d Cd z em relação a x y e^yz + d Cd z = x y e^yz e igualamos à terceira componente de :
Igualando à terceira componente de :
Isso implica que , ou seja, é constante.

Passo 6

Portanto, a função potencial é:
phi(x, y, z) = x e^y z + constante
Podemos desconsiderar a constante para simplificar, então:
phi(x, y, z) = x e^y z

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral de linha gamma(0) = (-1,, 0,, 1), gamma(1) = (0,, 1,, 2) . Como phi(gamma(1)) = phi(0, 1, 2) = 0 cdot e^1 cdot 2 = 0 é conservativo, a integral depende apenas dos valores de phi(gamma(0)) = phi(-1, 0, 1) = -1 cdot e^0 cdot 1 = -1 nos pontos final e inicial da curva .
Os pontos são:
Calculando nesses pontos:

Resposta

A integral de linha é:
integralgamma F cdot dgamma = phi(gamma(1)) - phi(gamma(0)) = 0 - (-1) = 1

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