Encontre uma função potencial para o campo
e calcule
, onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma função potencial para o campo vetorial
. Depois disso, precisamos calcular a integral de linha desse campo ao longo da curva
para
variando de 0 a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função potencial. Um campo vetorial
é conservativo se existe uma função escalar
tal que
. Ou seja,
é o gradiente de
. Para encontrar
, vamos integrar as componentes de
em relação às suas variáveis correspondentes.
Passo 3
Vamos começar integrando a primeira componente de
em relação a
:
Aqui,
é uma função que pode depender de
e
, já que estamos integrando em relação a
.
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar à segunda componente de
:
Igualando à segunda componente de
:
Isso implica que
, ou seja,
não depende de
.
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos à terceira componente de
:
Igualando à terceira componente de
:
Isso implica que
, ou seja,
é constante.
Passo 6
Portanto, a função potencial é:
Podemos desconsiderar a constante para simplificar, então:
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral de linha
. Como
é conservativo, a integral depende apenas dos valores de
nos pontos final e inicial da curva
.
Os pontos são:
Calculando
nesses pontos:
Resposta
A integral de linha é:
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Mostre que toda equação diferencial separável
é também exata.
(a) Mostre que a equação diferencial (1.30) não é exata e que
é um fator integrante da mesma.
Calcule
, onde
e
é a elípse
, orientada no sentido antihorário.
Calcule
, onde
é um triângulo com vértices
e
orientado no sentido anti-horário.