Calcule , onde é a fronteira da região semianular contida no semiplano superior entre os círculos e .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral de linha , onde é a fronteira da região semianular . Essa região está no semiplano superior e fica entre dois círculos: um de raio ( ) e outro de raio ( ). Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que:
Aqui, e . Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:

Passo 4

Agora, a integral de linha se transforma em uma integral dupla sobre a região :
Como a região é semianular no semiplano superior entre os círculos de raio e , vamos usar coordenadas polares para facilitar a integração.

Passo 5

Em coordenadas polares, temos:
E o elemento de área é . Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a :

Passo 7

Agora, a integral externa em relação a :

Passo 8

Multiplicando os resultados das integrais:

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Defina ou enuncie os seguintes objetos ou teoremas: Escreva alguma forma vetorial do teorema de Green. Justifique.
Seja a transformação . Desenhe o conjunto onde .
Determine se é ou não conservativo? Justifique.
Emr cada caso, calcule a integral dupla iterada dada: