Calcule integralC y^2 d x+3 x y d y, onde C é a fronteira da região semianular D contida no semiplano superior entre os círculos x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral de linha integralC y^2 , dx + 3xy , dy, onde C é a fronteira da região semianular D. Essa região está no semiplano superior e fica entre dois círculos: um de raio 1 ( x^2 + y^2 = 1) e outro de raio 2 ( x^2 + y^2 = 4). Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dA
Aqui, P = y^2 e Q = 3xy. Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partial (3xy)partial x = 3y
partial Ppartial y = partial (y^2)partial y = 2y
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 3y - 2y = y

Passo 4

Agora, a integral de linha se transforma em uma integral dupla sobre a região D:
integral duplaD y , dA
Como a região D é semianular no semiplano superior entre os círculos de raio 1 e 2, vamos usar coordenadas polares para facilitar a integração.

Passo 5

Em coordenadas polares, temos:
x = r costheta
y = r sintheta
E o elemento de área dA é r , dr , dtheta. Então, a integral fica:
integral0^pi integral1^2 (r sintheta) cdot r , dr , dtheta = integral0^pi integral1^2 r^2 sintheta , dr , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a r:
integral1^2 r^2 , dr = [ r^33 ]1^2 = 83 - 13 = 73

Passo 7

Agora, a integral externa em relação a theta:
integral0^pi sintheta , dtheta = [ -costheta ]0^pi = -(-1) - (-1) = 2

Passo 8

Multiplicando os resultados das integrais:
73 times 2 = 143

Resposta

O valor da integral é dfrac143.

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