Calcule
, onde
é a fronteira da região semianular
contida no semiplano superior entre os círculos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral de linha
, onde
é a fronteira da região semianular
. Essa região está no semiplano superior e fica entre dois círculos: um de raio
(
) e outro de raio
(
). Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que:
Aqui,
e
. Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:
Passo 4
Agora, a integral de linha se transforma em uma integral dupla sobre a região
:
Como a região
é semianular no semiplano superior entre os círculos de raio
e
, vamos usar coordenadas polares para facilitar a integração.
Passo 5
Em coordenadas polares, temos:
E o elemento de área
é
. Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Passo 7
Agora, a integral externa em relação a
:
Passo 8
Multiplicando os resultados das integrais:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Defina ou enuncie os seguintes objetos ou teoremas: Escreva alguma forma vetorial do teorema de Green. Justifique.
Seja a transformação
. Desenhe o conjunto
onde
.
Determine se
é ou não conservativo? Justifique.
Emr cada caso, calcule a integral dupla iterada dada: