Determine se
é ou não conservativo? Justifique.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede: Precisamos verificar se o campo vetorial
é conservativo ou não. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o teste de conservatividade de campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se existir uma função escalar
tal que
. Isso implica que o trabalho realizado pelo campo ao longo de um caminho depende apenas dos pontos inicial e final, e não do trajeto seguido.
Passo 3
Para verificar se
é conservativo, podemos usar o teste das derivadas cruzadas. Se
, então
é conservativo se e somente se:
Vamos identificar
e
no nosso campo:
Passo 4
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Passo 5
Comparando as duas derivadas:
Isso indica que a condição
é satisfeita.
Passo 6
No entanto, para que um campo vetorial seja conservativo, além dessa condição, o domínio do campo deve ser simplesmente conexo (ou seja, sem “buracos”). Observando
, vemos que ele não está definido no ponto
, criando um “buraco” no domínio.
Passo 7
A presença desse “buraco” faz com que
não seja conservativo, mesmo que as derivadas parciais coincidam. Isso ocorre porque não podemos definir uma função potencial
que seja bem definida em todo o domínio.
Resposta
O campo vetorial
não é conservativo, pois seu domínio não é simplesmente conexo devido à ausência do ponto
.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
é a fronteira da região semianular
contida no semiplano superior entre os círculos
e
.
Defina ou enuncie os seguintes objetos ou teoremas: Escreva alguma forma vetorial do teorema de Green. Justifique.
Emr cada caso, calcule a integral dupla iterada dada:
Emr cada caso, calcule a integral dupla iterada dada: