Determine se é ou não conservativo? Justifique.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede: Precisamos verificar se o campo vetorial é conservativo ou não. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o teste de conservatividade de campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se existir uma função escalar tal que . Isso implica que o trabalho realizado pelo campo ao longo de um caminho depende apenas dos pontos inicial e final, e não do trajeto seguido.

Passo 3

Para verificar se é conservativo, podemos usar o teste das derivadas cruzadas. Se , então é conservativo se e somente se:
Vamos identificar e no nosso campo:

Passo 4

Agora, calculamos as derivadas parciais:

Passo 5

Comparando as duas derivadas:
Isso indica que a condição é satisfeita.

Passo 6

No entanto, para que um campo vetorial seja conservativo, além dessa condição, o domínio do campo deve ser simplesmente conexo (ou seja, sem “buracos”). Observando , vemos que ele não está definido no ponto , criando um “buraco” no domínio.

Passo 7

A presença desse “buraco” faz com que não seja conservativo, mesmo que as derivadas parciais coincidam. Isso ocorre porque não podemos definir uma função potencial que seja bem definida em todo o domínio.

Resposta

O campo vetorial não é conservativo, pois seu domínio não é simplesmente conexo devido à ausência do ponto .

Exercícios relacionados

Calcule , onde é a fronteira da região semianular contida no semiplano superior entre os círculos e .
Defina ou enuncie os seguintes objetos ou teoremas: Escreva alguma forma vetorial do teorema de Green. Justifique.
Emr cada caso, calcule a integral dupla iterada dada:
Emr cada caso, calcule a integral dupla iterada dada: