Defina ou enuncie os seguintes objetos ou teoremas: Escreva alguma forma vetorial do teorema de Green. Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente escrever uma forma vetorial do Teorema de Green e justificar. Isso está dentro da matéria de cálculo vetorial, mais especificamente relacionado a integrais de linha e integrais de superfície. Vamos precisar entender um pouquinho sobre campos vetoriais e como eles se comportam em torno de curvas fechadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele é uma ferramenta que conecta uma integral de linha ao longo de uma curva fechada no plano com uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. Basicamente, ele nos ajuda a transformar integrais de contorno em integrais de área, o que pode facilitar bastante a resolução de certos problemas.

Passo 3

A forma clássica do Teorema de Green é escrita assim:
Aqui, representa a fronteira da região , e e são funções que definem um campo vetorial .

Passo 4

Agora, para deixar essa expressão mais “vecorial”, vamos reescrever usando o rotacional do campo vetorial . O rotacional em duas dimensões pode ser representado como:
onde é o vetor unitário na direção z.

Passo 5

Com isso, podemos reescrever o Teorema de Green de forma vetorial:
Aqui, representa o produto escalar entre o campo vetorial e o vetor diferencial ao longo da curva, ou seja, a circulação do campo ao redor da curva.

Passo 6

Essa forma vetorial é bem útil porque conecta a circulação do campo vetorial ao redor da fronteira com o rotacional desse campo dentro da região . Isso permite, por exemplo, calcular a circulação sabendo apenas as propriedades do campo no interior da região, ou vice-versa.

Resposta

A forma vetorial do Teorema de Green é dada por:
onde é um campo vetorial definido no plano, é uma curva fechada que delimita a região , é o rotacional de , e é o vetor unitário na direção z. Essa formulação vetorial do Teorema de Green estabelece que a circulação do campo ao longo da fronteira é igual à integral dupla do rotacional de sobre a região , conectando assim propriedades de contorno com características internas do campo vetorial.

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