Defina ou enuncie os seguintes objetos ou teoremas: Escreva alguma forma vetorial do teorema de Green. Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente escrever uma forma vetorial do Teorema de Green e justificar. Isso está dentro da matéria de cálculo vetorial, mais especificamente relacionado a integrais de linha e integrais de superfície. Vamos precisar entender um pouquinho sobre campos vetoriais e como eles se comportam em torno de curvas fechadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele é uma ferramenta que conecta uma integral de linha ao longo de uma curva fechada no plano com uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. Basicamente, ele nos ajuda a transformar integrais de contorno em integrais de área, o que pode facilitar bastante a resolução de certos problemas.
Passo 3
A forma clássica do Teorema de Green é escrita assim:
Aqui,
representa a fronteira da região
, e
e
são funções que definem um campo vetorial
.
Passo 4
Agora, para deixar essa expressão mais “vecorial”, vamos reescrever usando o rotacional do campo vetorial
. O rotacional em duas dimensões pode ser representado como:
onde
é o vetor unitário na direção z.
Passo 5
Com isso, podemos reescrever o Teorema de Green de forma vetorial:
Aqui,
representa o produto escalar entre o campo vetorial e o vetor diferencial ao longo da curva, ou seja, a circulação do campo ao redor da curva.
Passo 6
Essa forma vetorial é bem útil porque conecta a circulação do campo vetorial
ao redor da fronteira
com o rotacional desse campo dentro da região
. Isso permite, por exemplo, calcular a circulação sabendo apenas as propriedades do campo no interior da região, ou vice-versa.
Resposta
A forma vetorial do Teorema de Green é dada por:
onde
é um campo vetorial definido no plano,
é uma curva fechada que delimita a região
,
é o rotacional de
, e
é o vetor unitário na direção z. Essa formulação vetorial do Teorema de Green estabelece que a circulação do campo
ao longo da fronteira
é igual à integral dupla do rotacional de
sobre a região
, conectando assim propriedades de contorno com características internas do campo vetorial.
Exercícios relacionados
Seja a transformação
. Desenhe o conjunto
onde
.
Seja a transformação
, onde
e
. Desenhe o conjunto
onde
.
Calcule
, onde
é a fronteira da região semianular
contida no semiplano superior entre os círculos
e
.
Determine se
é ou não conservativo? Justifique.