Emr cada caso, calcule a integral dupla iterada dada:
integral1^5 integral1^3 ln yx y d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla iterada integral1^5 integral1^3 ln yx y , dx , dy. Vamos utilizar o conteúdo de Cálculo Integral, especificamente integrais duplas iteradas. Precisaremos saber como integrar funções de duas variáveis e aplicar propriedades dos logaritmos e integrais.

Passo 2

Vamos começar resolvendo a integral interna, que é a integral em relação a x:
integral1^3 ln yx y , dx.

Passo 3

Observe que, nessa integral, ln y e y são constantes em relação a x. Então podemos simplificar a expressão:
ln yy integral1^3 1x , dx.

Passo 4

A integral de 1x em relação a x é ln |x| + C. Calculando os limites de 1 a 3:
ln 3 - ln 1 = ln 3.

Passo 5

Portanto, a integral interna fica:
ln yy cdot ln 3 = ln 3 cdot ln yy.

Passo 6

Agora, substituímos a integral interna na integral externa:
integral1^5 ln 3 cdot ln yy , dy.

Passo 7

Como ln 3 é uma constante, podemos tirá-la da integral:
ln 3 cdot integral1^5 ln yy , dy.

Passo 8

A integral de ln yy , dy é (ln y)^22 + C. Calculando de 1 a 5:
(ln 5)^22 - (ln 1)^22 = (ln 5)^22, já que ln 1 = 0.

Resposta

O valor da integral dupla é ln 3 cdot (ln 5)^22.

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