Seja a transformação f(u, v) = (cos(v), sen(v), u). Desenhe o conjunto f(B) onde B = {(u, v) in R^2 ; 0 <= u, 0 <= v} v <= 2 pi.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma transformação definida por . Queremos desenhar o conjunto , onde . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformações de coordenadas e geometria no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a transformação . Aqui, e são variáveis que pertencem ao plano . A transformação mapeia esses pontos para o espaço tridimensional .

Passo 3

Observamos que as primeiras duas componentes da transformação são e . Isso é característico das coordenadas polares no plano , onde representa o ângulo e e dão as coordenadas e na circunferência unitária.

Passo 4

A terceira componente é simplesmente , o que significa que estamos estendendo nossa figura no eixo . Como , isso indica que estamos considerando apenas a parte da figura onde é positivo ou zero.

Passo 5

Agora, vamos visualizar o conjunto . Para cada valor de entre e , traça um círculo de raio 1 no plano . À medida que varia de para valores positivos, esse círculo se move ao longo do eixo .

Passo 6

Combinando essas informações, percebemos que forma uma superfície circular que se estende indefinidamente para cima no eixo . Essa superfície é chamada de cilindro circular infinito com raio 1 e eixo alinhado com .

Resposta

O conjunto é um cilindro circular de raio 1 que se estende indefinidamente para cima no eixo . Em outras palavras, é a superfície formada por todos os pontos onde e .

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