Seja a transformação
. Desenhe o conjunto
onde
.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma transformação definida por
. Queremos desenhar o conjunto
, onde
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformações de coordenadas e geometria no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a transformação
. Aqui,
e
são variáveis que pertencem ao plano
. A transformação mapeia esses pontos para o espaço tridimensional
.
Passo 3
Observamos que as primeiras duas componentes da transformação são
e
. Isso é característico das coordenadas polares no plano
, onde
representa o ângulo e
e
dão as coordenadas
e
na circunferência unitária.
Passo 4
A terceira componente é simplesmente
, o que significa que estamos estendendo nossa figura no eixo
. Como
, isso indica que estamos considerando apenas a parte da figura onde
é positivo ou zero.
Passo 5
Agora, vamos visualizar o conjunto
. Para cada valor de
entre
e
,
traça um círculo de raio 1 no plano
. À medida que
varia de
para valores positivos, esse círculo se move ao longo do eixo
.
Passo 6
Combinando essas informações, percebemos que
forma uma superfície circular que se estende indefinidamente para cima no eixo
. Essa superfície é chamada de cilindro circular infinito com raio 1 e eixo alinhado com
.
Resposta
O conjunto
é um cilindro circular de raio 1 que se estende indefinidamente para cima no eixo
. Em outras palavras, é a superfície formada por todos os pontos
onde
e
.
Exercícios relacionados
Seja a transformação
, onde
e
. Desenhe o conjunto
onde
.
Seja a transformação
, onde
e
. Desenhe a imagem de
.
Defina ou enuncie os seguintes objetos ou teoremas: Escreva alguma forma vetorial do teorema de Green. Justifique.
Calcule
, onde
é a fronteira da região semianular
contida no semiplano superior entre os círculos
e
.