Calcule
, ao longo dos seguintes caminhos fechados, orientados no sentido anti-horário.
© triângulo de vértices
e
.
© triângulo de vértices
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de linha
ao longo de um triângulo com vértices em
,
e
. Isso faz parte do estudo de integrais de linha no cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região limitada pela curva.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teorema de Green. Ele nos diz que para uma curva fechada
e uma região
limitada por
, a integral de linha
pode ser convertida em uma integral dupla sobre
:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na expressão do Teorema de Green:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre a região
do valor
. Isso significa que:
Então, vamos encontrar a área do triângulo com vértices em
,
e
.
Passo 5
A área de um triângulo com vértices em
,
e
pode ser calculada pela fórmula:
Aqui, a base é 1 (de
a
) e a altura também é 1 (de
a
). Então:
Passo 6
Agora, substituímos a área na expressão da integral dupla:
Portanto, a integral de linha original é igual a 1.
Resposta
O valor da integral
sobre o triângulo dado é
.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais:
(a) , onde
é formada por
e
, que vai do ponto
ao ponto
.
(a)
Calcule as seguintes integrais:
© , onde
é a fronteira da região limitada por
e
, com
.
©
Calcule
, do ponto
ao ponto
, ao longo dos seguintes caminhos:
(b) interseção das superfícies e
.
(b) interseção das superfícies
Calcule
, onde
(b) e
é a interseção das superfícies
e
, com
e
, percorrida uma vez do ponto
ao ponto
.
(b)