Calcule ointC-y d x+x d y, ao longo dos seguintes caminhos fechados, orientados no sentido anti-horário.
© triângulo de vértices (0,0),(1,0) e (0,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de linha ointC-y , dx + x , dy ao longo de um triângulo com vértices em (0,0), (1,0) e (0,1). Isso faz parte do estudo de integrais de linha no cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região limitada pela curva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teorema de Green. Ele nos diz que para uma curva fechada C e uma região D limitada por C, a integral de linha ointC (P , dx + Q , dy) pode ser convertida em uma integral dupla sobre D:
ointC (P , dx + Q , dy) = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dA
No nosso caso, P = -y e Q = x.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partial xpartial x = 1
partial Ppartial y = partial (-y)partial y = -1
Substituindo na expressão do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 1 - (-1) = 2

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre a região D do valor 2. Isso significa que:
integral duplaD 2 , dA = 2 times Área de D Á
Então, vamos encontrar a área do triângulo com vértices em (0,0), (1,0) e (0,1).

Passo 5

A área de um triângulo com vértices em (0,0), (1,0) e (0,1) pode ser calculada pela fórmula:
Área = 12 times base times aÁ
Aqui, a base é 1 (de (0,0) a (1,0)) e a altura também é 1 (de (0,0) a (0,1)). Então:
Área = 12 times 1 times 1 = 12 Á

Passo 6

Agora, substituímos a área na expressão da integral dupla:
integral duplaD 2 , dA = 2 times 12 = 1
Portanto, a integral de linha original é igual a 1.

Resposta

O valor da integral ointC-y , dx + x , dy sobre o triângulo dado é 1.

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