Calcule , ao longo dos seguintes caminhos fechados, orientados no sentido anti-horário.
© triângulo de vértices e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de linha ao longo de um triângulo com vértices em , e . Isso faz parte do estudo de integrais de linha no cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região limitada pela curva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teorema de Green. Ele nos diz que para uma curva fechada e uma região limitada por , a integral de linha pode ser convertida em uma integral dupla sobre :
No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na expressão do Teorema de Green:

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre a região do valor . Isso significa que:
Á
Então, vamos encontrar a área do triângulo com vértices em , e .

Passo 5

A área de um triângulo com vértices em , e pode ser calculada pela fórmula:
Á
Aqui, a base é 1 (de a ) e a altura também é 1 (de a ). Então:
Á

Passo 6

Agora, substituímos a área na expressão da integral dupla:
Portanto, a integral de linha original é igual a 1.

Resposta

O valor da integral sobre o triângulo dado é .

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais:
(a) , onde é formada por e , que vai do ponto ao ponto .
Calcule as seguintes integrais:
© , onde é a fronteira da região limitada por e , com .
Calcule , do ponto ao ponto , ao longo dos seguintes caminhos:
(b) interseção das superfícies e .
Calcule , onde
(b) e é a interseção das superfícies e , com e , percorrida uma vez do ponto ao ponto .