Calcule , do ponto ao ponto , ao longo dos seguintes caminhos:
(b) interseção das superfícies e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral de linha, que basicamente é somar os efeitos de um campo vetorial ao longo de um caminho específico. No seu caso, a integral é:
E a trajetória vai do ponto até o ponto , seguindo a interseção das superfícies e . O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de integrais de linha no contexto de campos vetoriais, e a gente vai precisar parametrizar o caminho para resolver essa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o caminho . Ele é definido pela interseção das superfícies (uma parábola) e (um plano). Para encontrar a parametrização, substituímos por na equação de :
Então, podemos parametrizar o caminho usando como parâmetro, já que e . Assim, nossa parametrização fica:
onde varia de 0 a 1, porque vai de 0 a 1 para ir de a .
Passo 3
Agora, vamos expressar os diferenciais , e em termos de :
Isso nos ajuda a substituir tudo na integral original.
Passo 4
Substituindo a parametrização e os diferenciais na integral, temos: