Calcule , do ponto ao ponto , ao longo dos seguintes caminhos:
(b) interseção das superfícies e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral de linha, que basicamente é somar os efeitos de um campo vetorial ao longo de um caminho específico. No seu caso, a integral é:
E a trajetória vai do ponto até o ponto , seguindo a interseção das superfícies e . O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de integrais de linha no contexto de campos vetoriais, e a gente vai precisar parametrizar o caminho para resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o caminho . Ele é definido pela interseção das superfícies (uma parábola) e (um plano). Para encontrar a parametrização, substituímos por na equação de :
Então, podemos parametrizar o caminho usando como parâmetro, já que e . Assim, nossa parametrização fica:
onde varia de 0 a 1, porque vai de 0 a 1 para ir de a .

Passo 3

Agora, vamos expressar os diferenciais , e em termos de :
Isso nos ajuda a substituir tudo na integral original.

Passo 4

Substituindo a parametrização e os diferenciais na integral, temos:
Vamos simplificar cada termo:
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular essa integral simples:

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Calcule , ao longo dos seguintes caminhos fechados, orientados no sentido anti-horário.
© triângulo de vértices e .
Calcule as seguintes integrais:
(a) , onde é formada por e , que vai do ponto ao ponto .
Calcule , onde
(b) e é a interseção das superfícies e , com e , percorrida uma vez do ponto ao ponto .
Verifique o Teorema de Green, calculando as duas integrais do enunciado, para , onde é a região interior à elipse .