Calcule integralC 3 x z d x+4 y z d y+2 x y d z, do ponto A=(0,0,0) ao ponto B=(1,1,2), ao longo dos seguintes caminhos:
(b) interseção das superfícies z=x^2+y^2 e x=y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral de linha, que basicamente é somar os efeitos de um campo vetorial ao longo de um caminho específico. No seu caso, a integral é:
integralC 3 x z , dx + 4 y z , dy + 2 x y , dz
E a trajetória vai do ponto até o ponto , seguindo a interseção das superfícies e . O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de integrais de linha no contexto de campos vetoriais, e a gente vai precisar parametrizar o caminho para resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o caminho z = x^2 + y^2 = x^2 + x^2 = 2x^2 . Ele é definido pela interseção das superfícies x = t y = t z = 2t^2 (uma parábola) e (um plano). Para encontrar a parametrização, substituímos por na equação de :
Então, podemos parametrizar o caminho usando como parâmetro, já que e . Assim, nossa parametrização fica:
onde varia de 0 a 1, porque vai de 0 a 1 para ir de a .

Passo 3

Agora, vamos expressar os diferenciais dx = dt dy = dt dz = ddt(2t^2) = 4t , dt , e em termos de :
Isso nos ajuda a substituir tudo na integral original.

Passo 4

Substituindo a parametrização e os diferenciais na integral, temos:
integralC 3x z , dx + 4y z , dy + 2x y , dz = integral0^1 [3t cdot 2t^2 cdot dt + 4t cdot 2t^2 cdot dt + 2t cdot t cdot 4t , dt]
Vamos simplificar cada termo:
3t cdot 2t^2 = 6t^3
4t cdot 2t^2 = 8t^3
2t cdot t cdot 4t = 8t^3
Então, a integral fica:
integral0^1 (6t^3 + 8t^3 + 8t^3) , dt = integral0^1 22t^3 , dt

Passo 5

Agora, vamos calcular essa integral simples:
integral0^1 22t^3 , dt = 22 integral0^1 t^3 , dt = 22 [ t^44 ]0^1 = 22 ( 14 - 0 ) = 224 = 112

Resposta

O valor da integral é .

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