Calcule integralC(y-x, y) d r, onde C é a parte da circunferência x^2+y^2=9 com y <= 0 percorrida no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de linha integralC(y - x, y) , dr, onde C é a parte da circunferência x^2 + y^2 = 9 com y <= 0, percorrida no sentido anti-horário. Isso envolve cálculo vetorial, especificamente integrais de linha. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a curva C e depois calcular a integral usando essa parametrização.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva C. A circunferência x^2 + y^2 = 9 tem raio 3. Como estamos lidando com a parte em que y <= 0, isso corresponde ao semicirculo inferior. Vamos usar a parametrização trigonométrica:
x = 3costheta
y = 3sintheta
Como y <= 0, o ângulo theta varia de pi a 0.

Passo 3

Agora, precisamos expressar dx e dy em termos de theta. Derivando as equações anteriores em relação a theta, temos:
dx = -3sintheta , dtheta
dy = 3costheta , dtheta

Passo 4

Vamos substituir x, y, dx e dy na integral original:
integralC(y - x) , dx + y , dy = integralpi^0 (3sintheta - 3costheta)(-3sintheta , dtheta) + 3sintheta cdot 3costheta , dtheta

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
= integralpi^0 [ (-3sintheta)(3sintheta - 3costheta) + 9sinthetacostheta ] dtheta
= integralpi^0 [ -9sin^2theta + 9sinthetacostheta + 9sinthetacostheta ] dtheta
= integralpi^0 [ -9sin^2theta + 18sinthetacostheta ] dtheta

Passo 6

Vamos inverter os limites da integral para facilitar o cálculo (isso muda o sinal):
= -integral0^pi [ -9sin^2theta + 18sinthetacostheta ] dtheta
= integral0^pi 9sin^2theta - 18sinthetacostheta , dtheta

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo. Primeiro, a integral de sin^2theta:
integral sin^2theta , dtheta = theta2 - sin(2theta)4 + C
E a integral de sinthetacostheta:
integral sinthetacostheta , dtheta = sin^2theta2 + C

Passo 8

Aplicando as integrais:
integral0^pi 9sin^2theta , dtheta = 9[pi2 - sin(2pi)4 - (0 - sin(0)4)] = 9pi2
integral0^pi -18sinthetacostheta , dtheta = -18 cdot sin^2pi2 + 18 cdot sin^202 = 0

Resposta

Somando os resultados, a integral é:
9pi2 + 0 = 9pi2
Então, o valor final da integral é 9pi2.

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