Calcule
, onde
é a parte da circunferência
com
percorrida no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde
é a parte da circunferência
com
, percorrida no sentido anti-horário. Isso envolve cálculo vetorial, especificamente integrais de linha. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a curva
e depois calcular a integral usando essa parametrização.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. A circunferência
tem raio 3. Como estamos lidando com a parte em que
, isso corresponde ao semicirculo inferior. Vamos usar a parametrização trigonométrica:
Como
, o ângulo
varia de
a
.
Passo 3
Agora, precisamos expressar
e
em termos de
. Derivando as equações anteriores em relação a
, temos:
Passo 4
Vamos substituir
,
,
e
na integral original:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Passo 6
Vamos inverter os limites da integral para facilitar o cálculo (isso muda o sinal):
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo. Primeiro, a integral de
:
E a integral de
:
Passo 8
Aplicando as integrais:
Resposta
Somando os resultados, a integral é:
Então, o valor final da integral é
.
Exercícios relacionados
Seja
a) Calcule
Calcule
, onde
é 0 segmento de reta que inicia em
e termina em
.
Mostre que
é diferenciável em
e calcule o plano tangente ao gráfico de
no ponto
O comprimento
, a largura
e a altura
de uma caixa variam com o tempo. Em um determinado momento, as dimensões são
e
,
e
estão aumentando em uma taxa de
enquanto
está decrescendo em uma taxa de
. Nesse instante, encontre as taxas em que as seguintes quantidades estão variando.
O comprimento da diagonal
O comprimento da diagonal