Calcule , onde é a parte da circunferência com percorrida no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de linha , onde é a parte da circunferência com , percorrida no sentido anti-horário. Isso envolve cálculo vetorial, especificamente integrais de linha. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a curva e depois calcular a integral usando essa parametrização.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva . A circunferência tem raio 3. Como estamos lidando com a parte em que , isso corresponde ao semicirculo inferior. Vamos usar a parametrização trigonométrica:
Como , o ângulo varia de a .

Passo 3

Agora, precisamos expressar e em termos de . Derivando as equações anteriores em relação a , temos:

Passo 4

Vamos substituir , , e na integral original:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:

Passo 6

Vamos inverter os limites da integral para facilitar o cálculo (isso muda o sinal):

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo. Primeiro, a integral de :
E a integral de :

Passo 8

Aplicando as integrais:

Resposta

Somando os resultados, a integral é:
Então, o valor final da integral é .

Exercícios relacionados

Seja
.
a) Calcule , onde é a circunferência orientada no sentido anti-horário.
Calcule , onde é 0 segmento de reta que inicia em e termina em .
Mostre que é diferenciável em e calcule o plano tangente ao gráfico de no ponto
O comprimento , a largura e a altura de uma caixa variam com o tempo. Em um determinado momento, as dimensões são e , e estão aumentando em uma taxa de enquanto está decrescendo em uma taxa de . Nesse instante, encontre as taxas em que as seguintes quantidades estão variando.
O comprimento da diagonal