Seja
.
a) Calcule , onde é a circunferência orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um campo vetorial definido em . Precisamos calcular a integral de linha de ao longo da curva , que é a circunferência orientada no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de integrais de linha e campos vetoriais circulantes.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva . Como é uma circunferência de raio , podemos usar coordenadas polares. Definimos e , onde varia de a .

Passo 3

Com a parametrização, calculamos e :

Passo 4

Agora, substituímos e na expressão do campo vetorial :

Passo 5

A integral de linha pode ser expressa em termos de :

Passo 6

Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 7

Sabemos que , então a integral se simplifica para:

Resposta

A integral de linha é igual a .

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