Seja
.
a) Calcule
, onde
é a circunferência
orientada no sentido anti-horário.
a) Calcule
Passo 1
Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um campo vetorial
definido em
. Precisamos calcular a integral de linha de
ao longo da curva
, que é a circunferência
orientada no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de integrais de linha e campos vetoriais circulantes.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. Como é uma circunferência de raio
, podemos usar coordenadas polares. Definimos
e
, onde
varia de
a
.
Passo 3
Com a parametrização, calculamos
e
:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na expressão do campo vetorial
:
Passo 5
A integral de linha
pode ser expressa em termos de
:
Passo 6
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 7
Sabemos que
, então a integral se simplifica para:
Resposta
A integral de linha
é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
é 0 segmento de reta que inicia em
e termina em
.
Verifique o Teorema de Green calculando as duas integrais do enunciado (do teorema) para
e
a fronteira da região
Calcule
, onde
é a parte da circunferência
com
percorrida no sentido anti-horário.
Mostre que
é diferenciável em
e calcule o plano tangente ao gráfico de
no ponto