Seja
F(x, y)=(-yx^2+y^2, xx^2+y^2)
com(x, y) in U=R^2-(0,0).
a) Calcule ointC1^+ F d r, onde C1 é a circunferência x^2+y^2=a^2, a>0 orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um campo vetorial definido em . Precisamos calcular a integral de linha de ao longo da curva , que é a circunferência orientada no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de integrais de linha e campos vetoriais circulantes.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva . Como é uma circunferência de raio , podemos usar coordenadas polares. Definimos e , onde varia de a .

Passo 3

Com a parametrização, calculamos dxdtheta = -a sin theta e dydtheta = a cos theta :

Passo 4

Agora, substituímos F(x, y) = ( -a sin thetaa^2, a cos thetaa^2 ) = ( -sin thetaa, cos thetaa ) e na expressão do campo vetorial :

Passo 5

A integral de linha ointC1^+ F cdot dr = integral0^2pi ( -sin thetaa cdot (-a sin theta) + cos thetaa cdot (a cos theta) ) dtheta pode ser expressa em termos de :

Passo 6

Simplificando a expressão dentro da integral:
= integral0^2pi ( sin^2 theta1 + cos^2 theta1 ) dtheta
= integral0^2pi (sin^2 theta + cos^2 theta) dtheta

Passo 7

Sabemos que = integral0^2pi 1 , dtheta = 2pi , então a integral se simplifica para:

Resposta

A integral de linha é igual a .

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