Calcule , onde é 0 segmento de reta que inicia em e termina em .

Passo 1

Beleza! Vamos calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo de um segmento de reta que vai do ponto até . Isso faz parte do estudo de Cálculo Vetorial, especificamente sobre integrais de linha. Para resolver, vamos precisar parametrizar o caminho e calcular a integral usando essa parametrização.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o segmento de reta . Como é uma reta que vai de até , podemos usar uma parametrização linear. Vamos definir um parâmetro que varia de 0 a 1, onde corresponde ao ponto e ao ponto .
A parametrização fica:
Então, , , e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , que é . Isso nos dá o vetor tangente ao caminho .
Calculando:

Passo 4

Em seguida, vamos substituir , e no campo vetorial :

Passo 5

A integral de linha é dada por:
Vamos calcular o produto escalar :

Passo 6

Agora, integramos a expressão resultante de 0 a 1:
Calculando cada integral:

Passo 7

Somando os resultados:

Resposta

A integral de linha ao longo do segmento de reta de até é .

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Verifique o Teorema de Green calculando as duas integrais do enunciado (do teorema) para e a fronteira da região
Calcule , sendo a interseção das superfícies e , e , percorrida uma do ponto ao ponto .
Seja
.
a) Calcule , onde é a circunferência orientada no sentido anti-horário.
Calcule , onde é a parte da circunferência com percorrida no sentido anti-horário.