Calcule
, onde
é 0 segmento de reta que inicia em
e termina em
.
Passo 1
Beleza! Vamos calcular a integral de linha do campo vetorial
ao longo de um segmento de reta
que vai do ponto
até
. Isso faz parte do estudo de Cálculo Vetorial, especificamente sobre integrais de linha. Para resolver, vamos precisar parametrizar o caminho
e calcular a integral usando essa parametrização.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o segmento de reta
. Como
é uma reta que vai de
até
, podemos usar uma parametrização linear. Vamos definir um parâmetro
que varia de 0 a 1, onde
corresponde ao ponto
e
ao ponto
.
A parametrização fica:
Então,
,
, e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, que é
. Isso nos dá o vetor tangente ao caminho
.
Calculando:
Passo 4
Em seguida, vamos substituir
,
e
no campo vetorial
:
Passo 5
A integral de linha é dada por:
Vamos calcular o produto escalar
:
Passo 6
Agora, integramos a expressão resultante de 0 a 1:
Calculando cada integral:
Passo 7
Somando os resultados:
Resposta
A integral de linha
ao longo do segmento de reta de
até
é
.
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Verifique o Teorema de Green calculando as duas integrais do enunciado (do teorema) para
e
a fronteira da região
Calcule
, sendo
a interseção das superfícies
e
,
e
, percorrida uma do ponto
ao ponto
.
Seja
a) Calcule
Calcule
, onde
é a parte da circunferência
com
percorrida no sentido anti-horário.