Calcule integralC(y, x^2, z) d r, onde C é 0 segmento de reta que inicia em A(0,1,3) e termina em B(1,2,3).

Passo 1

Beleza! Vamos calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo de um segmento de reta que vai do ponto até . Isso faz parte do estudo de Cálculo Vetorial, especificamente sobre integrais de linha. Para resolver, vamos precisar parametrizar o caminho e calcular a integral usando essa parametrização.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o segmento de reta r(t) = A + t(B - A) = (0,1,3) + t(1-0, 2-1, 3-3) = (t, 1 + t, 3) . Como é uma reta que vai de até , podemos usar uma parametrização linear. Vamos definir um parâmetro que varia de 0 a 1, onde corresponde ao ponto e ao ponto .
A parametrização fica:
Então, , , e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de r,'(t) = ddt (t, 1 + t, 3) = (1, 1, 0) em relação a , que é . Isso nos dá o vetor tangente ao caminho .
Calculando:

Passo 4

Em seguida, vamos substituir F(r(t)) = ( y(t), x(t)^2, z(t) ) = ( 1 + t, t^2, 3 ) , e no campo vetorial :

Passo 5

A integral de linha é dada por:
integralC F cdot dr = integral0^1 F(r(t)) cdot r,'(t) , dt
Vamos calcular o produto escalar (1 + t, t^2, 3) cdot (1, 1, 0) = (1 + t) cdot 1 + t^2 cdot 1 + 3 cdot 0 = 1 + t + t^2 :

Passo 6

Agora, integramos a expressão resultante de 0 a 1:
integral0^1 (1 + t + t^2) , dt = integral0^1 1 , dt + integral0^1 t , dt + integral0^1 t^2 , dt
Calculando cada integral:
integral0^1 1 , dt = [t]0^1 = 1
integral0^1 t , dt = [ t^22 ]0^1 = 12
integral0^1 t^2 , dt = [ t^33 ]0^1 = 13

Passo 7

Somando os resultados:
1 + 12 + 13 = 66 + 36 + 26 = 116

Resposta

A integral de linha ao longo do segmento de reta de até é .

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