Calcule
, onde
e
são como indicadas abaixo:
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais ao longo de uma curva. O que a gente tem aqui é uma integral da função
ao longo da curva parametrizada por
para
entre 0 e 5. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e integração de funções escalares ao longo dessas curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular
. Aqui,
representa um elemento de comprimento ao longo da curva
. Para parametrizar essa integral, usamos a expressão:
Onde
é a parametrização da curva,
é a derivada de
em relação a
, e
é a norma dessa derivada, ou seja, o módulo do vetor.
Passo 3
Vamos calcular
, a derivada de
:
Derivando cada componente em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a norma de
:
Vamos simplificar essa expressão:
Explicando a simplificação: fatoramos
de cada termo dentro da raiz quadrada.
Passo 5
Vamos expandir os quadrados dentro da raiz:
Somando esses dois resultados:
E sabemos que
, então:
Adicionando o 4 que estava fora:
Portanto:
Passo 6
Agora, vamos substituir
e
na integral:
Sabemos que
, então:
Substituindo na função
:
Passo 7
Então, a integral fica:
Simplificando
.
Passo 8
A integral de 1 em relação a
é simplesmente
, então:
Resposta
Exercícios relacionados
Encontre a série de Taylor de:
a) ;
a)
(i) encontre o domínio da função, (ii) encontre a imagem da função, (iii) descreva as curvas de nível da função, (iv) encontre a fronteira do domínio da função, (v) determine se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas, e (vi) decida se o domínio é limitado ou ilimitado.:
Esboce um gráfico com as seguintes características
Esboce o gráfico das funções abaixo. Para isto, determine a interseção com os eixos (caso exista), o domínio, os máximos e mínimos (caso existam), os intervalos de crescimento de decrescimento, os intervalos em que a função é côncava para cima e para baixo, os pontos de inflexão (caso exista) e calcule todos os limites necessários.