Calcule , onde e são como indicadas abaixo:
d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais ao longo de uma curva. O que a gente tem aqui é uma integral da função ao longo da curva parametrizada por para entre 0 e 5. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e integração de funções escalares ao longo dessas curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular . Aqui, representa um elemento de comprimento ao longo da curva . Para parametrizar essa integral, usamos a expressão:
Onde é a parametrização da curva, é a derivada de em relação a , e é a norma dessa derivada, ou seja, o módulo do vetor.

Passo 3

Vamos calcular , a derivada de :
Derivando cada componente em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular a norma de :
Vamos simplificar essa expressão:
Explicando a simplificação: fatoramos de cada termo dentro da raiz quadrada.

Passo 5

Vamos expandir os quadrados dentro da raiz:
Somando esses dois resultados:
E sabemos que , então:
Adicionando o 4 que estava fora:
Portanto:

Passo 6

Agora, vamos substituir e na integral:
Sabemos que , então:
Substituindo na função :

Passo 7

Então, a integral fica:
Simplificando .

Passo 8

A integral de 1 em relação a é simplesmente , então:

Resposta

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Encontre a série de Taylor de:
a) ;
(i) encontre o domínio da função, (ii) encontre a imagem da função, (iii) descreva as curvas de nível da função, (iv) encontre a fronteira do domínio da função, (v) determine se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas, e (vi) decida se o domínio é limitado ou ilimitado.:
Esboce um gráfico com as seguintes características
Esboce o gráfico das funções abaixo. Para isto, determine a interseção com os eixos (caso exista), o domínio, os máximos e mínimos (caso existam), os intervalos de crescimento de decrescimento, os intervalos em que a função é côncava para cima e para baixo, os pontos de inflexão (caso exista) e calcule todos os limites necessários.