Calcule
, onde
e
são como indicadas abaixo:
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais ao longo de uma curva. O que a gente tem aqui é uma integral da função
ao longo da curva parametrizada por
para
entre 0 e 5. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e integração de funções escalares ao longo dessas curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular
. Aqui,
representa um elemento de comprimento ao longo da curva
. Para parametrizar essa integral, usamos a expressão:
Onde
é a parametrização da curva,
é a derivada de
em relação a
, e
é a norma dessa derivada, ou seja, o módulo do vetor.
Passo 3
Vamos calcular
, a derivada de
:
Derivando cada componente em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a norma de
:
Vamos simplificar essa expressão:
Explicando a simplificação: fatoramos
de cada termo dentro da raiz quadrada.
Passo 5
Vamos expandir os quadrados dentro da raiz:
Somando esses dois resultados:
E sabemos que
, então:
Adicionando o 4 que estava fora:
Portanto:
Passo 6
Agora, vamos substituir
e
na integral:
Sabemos que
, então:
Substituindo na função
:
Passo 7
Então, a integral fica:
Simplificando
.
Passo 8
A integral de 1 em relação a
é simplesmente
, então: