Calcule integralC f d s, onde f e r são como indicadas abaixo:
d) f(x, y, z)=zx^2+y^2 ; r(t)=(e^2 t cos 3 t, e^2 t sin 3 t, e^2 t), 0 <= t <= 5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais ao longo de uma curva. O que a gente tem aqui é uma integral da função ao longo da curva parametrizada por para entre 0 e 5. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e integração de funções escalares ao longo dessas curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular integrala^b f(r(t)) | r'(t) | , dt . Aqui, representa um elemento de comprimento ao longo da curva . Para parametrizar essa integral, usamos a expressão:
Onde é a parametrização da curva, é a derivada de em relação a , e é a norma dessa derivada, ou seja, o módulo do vetor.

Passo 3

Vamos calcular r(t) = (e^2t cos 3t, e^2t sin 3t, e^2t) , a derivada de r'(t) = (2e^2t cos 3t - 3e^2t sin 3t, 2e^2t sin 3t + 3e^2t cos 3t, 2e^2t) :
Derivando cada componente em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular a norma de | r'(t) | = raiz(2e^2t cos 3t - 3e^2t sin 3t)^2 + (2e^2t sin 3t + 3e^2t cos 3t)^2 + (2e^2t)^2 :
| r'(t) | = e^2t raiz(2 cos 3t - 3 sin 3t)^2 + (2 sin 3t + 3 cos 3t)^2 + 4
Vamos simplificar essa expressão:
Explicando a simplificação: fatoramos de cada termo dentro da raiz quadrada.

Passo 5

Vamos expandir os quadrados dentro da raiz:
(2 cos 3t - 3 sin 3t)^2 = 4 cos^2 3t - 12 cos 3t sin 3t + 9 sin^2 3t
(2 sin 3t + 3 cos 3t)^2 = 4 sin^2 3t + 12 sin 3t cos 3t + 9 cos^2 3t
Somando esses dois resultados:
4 cos^2 3t - 12 cos 3t sin 3t + 9 sin^2 3t + 4 sin^2 3t + 12 sin 3t cos 3t + 9 cos^2 3t = 13 cos^2 3t + 13 sin^2 3t
E sabemos que 13 cos^2 3t + 13 sin^2 3t = 13 , então:
13 + 4 = 17
Adicionando o 4 que estava fora:
| r'(t) | = e^2t raiz17 = raiz17 , e^2t
Portanto:

Passo 6

Agora, vamos substituir integral0^5 f(r(t)) | r'(t) | , dt = integral0^5 zx^2 + y^2 cdot raiz17 , e^2t , dt e x = e^2t cos 3t, y = e^2t sin 3t, z = e^2t na integral:
f(r(t)) = e^2t(e^2t cos 3t)^2 + (e^2t sin 3t)^2 = e^2te^4t (cos^2 3t + sin^2 3t) = e^2te^4t cdot 1 = e^-2t
Sabemos que , então:
Substituindo na função :

Passo 7

Então, a integral fica:
integral0^5 e^-2t cdot raiz17 , e^2t , dt = raiz17 integral0^5 e^-2t cdot e^2t , dt = raiz17 integral0^5 1 , dt
Simplificando .

Passo 8

A integral de 1 em relação a raiz17 integral0^5 1 , dt = raiz17 [t]0^5 = raiz17 (5 - 0) = 5 raiz17 é simplesmente , então:

Resposta

integralC f , ds = 5 raiz17

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