(i) encontre o domínio da função, (ii) encontre a imagem da função, (iii) descreva as curvas de nível da função, (iv) encontre a fronteira do domínio da função, (v) determine se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas, e (vi) decida se o domínio é limitado ou ilimitado.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisamos:
- Encontrar o domínio da função.
- Encontrar a imagem da função.
- Descrever as curvas de nível da função.
- Encontrar a fronteira do domínio da função.
- Determinar se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas.
- Decidir se o domínio é limitado ou ilimitado.
Vamos precisar de conceitos de funções de duas variáveis, exponenciais, conjuntos abertos e fechados, e noções de limites e fronteiras. Bora lá!
Passo 2
(i) Encontrar o domínio da função
O domínio de uma função são todos os valores de
e
para os quais a função está definida. Aqui, temos
.
A função exponencial
está definida para todo número real
. No nosso caso,
, que também é real para qualquer
e
.
Portanto, o domínio da função é todo o plano
.
Passo 3
(ii) Encontrar a imagem da função
A imagem da função são todos os valores possíveis que
pode assumir.
Como
, o expoente
. Assim,
varia entre 0 e 1.
- Quando
e , . - Conforme
e se afastam da origem, se aproxima de 0.
Então, a imagem da função é o intervalo
.
Passo 4
(iii) Descrever as curvas de nível da função
Curvas de nível são os conjuntos de pontos
onde a função assume um valor constante
.
Vamos resolver
:
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Para que
esteja na imagem
,
é sempre positivo.
Então, as curvas de nível são círculos centrados na origem com raio
.
Passo 5
(iv) Encontrar a fronteira do domínio da função
A fronteira de um conjunto é o conjunto de pontos onde qualquer vizinhança contém pontos dentro e fora do conjunto.
Como o domínio é todo
, que não tem limites “externos”, não há pontos que estão “na borda” do domínio.
Portanto, a fronteira do domínio é vazia.
Passo 6
(v) Determinar se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas
Um conjunto é aberto se não contém sua fronteira, e fechado se contém sua fronteira.
Como a fronteira do domínio é vazia:
- Todo conjunto vazio está contido em qualquer conjunto.
-
contém todos os seus pontos e nenhuma fronteira própria.
Assim, o domínio
é simultaneamente aberto e fechado (chamado de conjunto clopen).
Passo 7
(vi) Decidir se o domínio é limitado ou ilimitado
Um conjunto é limitado se existe um círculo de raio finito que contém todo o conjunto.
Portanto, o domínio é ilimitado.
Resposta
- Domínio:
. - Imagem:
. - Curvas de nível: Círculos centrados na origem com raio
. - Fronteira do domínio: Vazia.
- Região: Aberta e fechada.
- Dominio é: Ilimitado.