(i) encontre o domínio da função, (ii) encontre a imagem da função, (iii) descreva as curvas de nível da função, (iv) encontre a fronteira do domínio da função, (v) determine se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas, e (vi) decida se o domínio é limitado ou ilimitado.: f(x, y) = e^(- (x^2 + y^2))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisamos:
  1. Encontrar o domínio da função.
  2. Encontrar a imagem da função.
  3. Descrever as curvas de nível da função.
  4. Encontrar a fronteira do domínio da função.
  5. Determinar se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas.
  6. Decidir se o domínio é limitado ou ilimitado.
Vamos precisar de conceitos de funções de duas variáveis, exponenciais, conjuntos abertos e fechados, e noções de limites e fronteiras. Bora lá!

Passo 2

(i) Encontrar o domínio da função
O domínio de uma função são todos os valores de e para os quais a função está definida. Aqui, temos .
A função exponencial está definida para todo número real . No nosso caso, , que também é real para qualquer e .
Portanto, o domínio da função é todo o plano .

Passo 3

(ii) Encontrar a imagem da função
A imagem da função são todos os valores possíveis que pode assumir.
Como , o expoente . Assim, varia entre 0 e 1.
  • Quando e , .
  • Conforme e se afastam da origem, se aproxima de 0.
Então, a imagem da função é o intervalo .

Passo 4

(iii) Descrever as curvas de nível da função
Curvas de nível são os conjuntos de pontos onde a função assume um valor constante .
Vamos resolver :
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Para que esteja na imagem , é sempre positivo.
Então, as curvas de nível são círculos centrados na origem com raio .

Passo 5

(iv) Encontrar a fronteira do domínio da função
A fronteira de um conjunto é o conjunto de pontos onde qualquer vizinhança contém pontos dentro e fora do conjunto.
Como o domínio é todo , que não tem limites “externos”, não há pontos que estão “na borda” do domínio.
Portanto, a fronteira do domínio é vazia.

Passo 6

(v) Determinar se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas
Um conjunto é aberto se não contém sua fronteira, e fechado se contém sua fronteira.
Como a fronteira do domínio é vazia:
  • Todo conjunto vazio está contido em qualquer conjunto.
  • contém todos os seus pontos e nenhuma fronteira própria.
Assim, o domínio é simultaneamente aberto e fechado (chamado de conjunto clopen).

Passo 7

(vi) Decidir se o domínio é limitado ou ilimitado
Um conjunto é limitado se existe um círculo de raio finito que contém todo o conjunto.
se estende infinitamente em todas as direções.
Portanto, o domínio é ilimitado.

Resposta

  1. Domínio: .
  2. Imagem: .
  3. Curvas de nível: Círculos centrados na origem com raio .
  4. Fronteira do domínio: Vazia.
  5. Região: Aberta e fechada.
  6. Dominio é: Ilimitado.

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