Esboce um gráfico com as seguintes características
Passo 1
Então, temos que desenhar o gráfico de uma função
que passa por alguns pontos específicos e que tem certas características em suas derivadas primeira e segunda. Vamos precisar entender conceitos de derivadas para achar os pontos onde a função tem máximos, mínimos e como ela está se comportando em termos de concavidade.
Passo 2
Primeiro, sabemos que
e
. Isso significa que a função cruza o eixo
nesses pontos. Então, no gráfico, vamos marcar os pontos (0,0) e (6,0).
Passo 3
Agora, olhando para as derivadas,
e
. A derivada primeira igual a zero indica possíveis pontos de máximo ou mínimo local. Então, nos pontos
e
, a função tem pontos críticos.
Passo 4
Vamos analisar o comportamento da derivada primeira:
- Para
, : a função está crescendo. - Para
, : a função continua crescendo. - Para
, : a função está decrescendo.
Então, a função aumenta de 0 até 5 e começa a decrescer depois de 5.
Passo 5
Analisando a derivada segunda
:
- Para
e , : a concavidade é para baixo. - Para
, : a concavidade é para cima.
Isso nos mostra onde a função é côncava ou convexa, ajudando a desenhar o gráfico com mais precisão.
Resposta
Com todas essas informações, o gráfico de
começa no ponto (0,0), cresce até
passando por um ponto de inflexão em
, alcança um máximo em
e depois decresce até chegar novamente a zero em
, com concavidade para baixo antes de
e após
, e concavidade para cima entre
e
.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
e
são como indicadas abaixo:
d)
d)
Encontre a série de Taylor de:
a) ;
a)
Esboce o gráfico das funções abaixo. Para isto, determine a interseção com os eixos (caso exista), o domínio, os máximos e mínimos (caso existam), os intervalos de crescimento de decrescimento, os intervalos em que a função é côncava para cima e para baixo, os pontos de inflexão (caso exista) e calcule todos os limites necessários.
Encontre
, onde o campo vetorial e a curva são dadas abaixo:
c)
c)