Esboce um gráfico com as seguintes características

Passo 1

Então, temos que desenhar o gráfico de uma função que passa por alguns pontos específicos e que tem certas características em suas derivadas primeira e segunda. Vamos precisar entender conceitos de derivadas para achar os pontos onde a função tem máximos, mínimos e como ela está se comportando em termos de concavidade.

Passo 2

Primeiro, sabemos que e . Isso significa que a função cruza o eixo nesses pontos. Então, no gráfico, vamos marcar os pontos (0,0) e (6,0).

Passo 3

Agora, olhando para as derivadas, e . A derivada primeira igual a zero indica possíveis pontos de máximo ou mínimo local. Então, nos pontos e , a função tem pontos críticos.

Passo 4

Vamos analisar o comportamento da derivada primeira:
  • Para , : a função está crescendo.
  • Para , : a função continua crescendo.
  • Para , : a função está decrescendo.
Então, a função aumenta de 0 até 5 e começa a decrescer depois de 5.

Passo 5

Analisando a derivada segunda :
  • Para e , : a concavidade é para baixo.
  • Para , : a concavidade é para cima.
Isso nos mostra onde a função é côncava ou convexa, ajudando a desenhar o gráfico com mais precisão.

Resposta

Com todas essas informações, o gráfico de começa no ponto (0,0), cresce até passando por um ponto de inflexão em , alcança um máximo em e depois decresce até chegar novamente a zero em , com concavidade para baixo antes de e após , e concavidade para cima entre e .

Exercícios relacionados

Calcule , onde e são como indicadas abaixo:
d)
Encontre a série de Taylor de:
a) ;
Esboce o gráfico das funções abaixo. Para isto, determine a interseção com os eixos (caso exista), o domínio, os máximos e mínimos (caso existam), os intervalos de crescimento de decrescimento, os intervalos em que a função é côncava para cima e para baixo, os pontos de inflexão (caso exista) e calcule todos os limites necessários.
Encontre , onde o campo vetorial e a curva são dadas abaixo:
c)