Encontre a série de Taylor de:
a) ;

Passo 1

Vamos entender o que precisamos fazer: Queremos encontrar a série de Taylor da função em torno do ponto . Para isso, vamos usar o conceito de série de Taylor, que envolve derivadas da função avaliadas em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da série de Taylor de uma função em torno de :
Para construir essa série, precisamos calcular as derivadas de e avaliá-las em .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de :
  1. Primeira derivada:
  1. Segunda derivada:
  1. Terceira derivada:
E assim por diante. Observamos que as derivadas seguem um padrão.

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
  1. Função original:
  1. Primeira derivada:
  1. Segunda derivada:
  1. Terceira derivada:

Passo 5

Com as derivadas avaliadas, podemos montar a série de Taylor:
Substituindo os valores que calculamos:

Resposta

A série de Taylor de em torno de é:

Exercícios relacionados

(i) encontre o domínio da função, (ii) encontre a imagem da função, (iii) descreva as curvas de nível da função, (iv) encontre a fronteira do domínio da função, (v) determine se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas, e (vi) decida se o domínio é limitado ou ilimitado.:
Considere a expansão , válida para todo .
a) Utilize a representação acima para escrever a função como uma série de potências de ;
Calcule , onde e são como indicadas abaixo:
d)
Esboce um gráfico com as seguintes características