Encontre a série de Taylor de:
a)
;
a)
Passo 1
Vamos entender o que precisamos fazer: Queremos encontrar a série de Taylor da função
em torno do ponto
. Para isso, vamos usar o conceito de série de Taylor, que envolve derivadas da função avaliadas em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da série de Taylor de uma função
em torno de
:
Para construir essa série, precisamos calcular as derivadas de
e avaliá-las em
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
- Terceira derivada:
E assim por diante. Observamos que as derivadas seguem um padrão.
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
- Função original:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
- Terceira derivada:
Passo 5
Com as derivadas avaliadas, podemos montar a série de Taylor:
Substituindo os valores que calculamos:
Resposta
A série de Taylor de
em torno de
é:
Exercícios relacionados
(i) encontre o domínio da função, (ii) encontre a imagem da função, (iii) descreva as curvas de nível da função, (iv) encontre a fronteira do domínio da função, (v) determine se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas, e (vi) decida se o domínio é limitado ou ilimitado.:
Considere a expansão
, válida para todo
.
a) Utilize a representação acima para escrever a função como uma série de potências de
;
a) Utilize a representação acima para escrever a função
Calcule
, onde
e
são como indicadas abaixo:
d)
d)
Esboce um gráfico com as seguintes características