Encontre a série de Taylor de:
a) f(x) = x ln(x) em torno do ponto x0 = 4;

Passo 1

Vamos entender o que precisamos fazer: Queremos encontrar a série de Taylor da função em torno do ponto . Para isso, vamos usar o conceito de série de Taylor, que envolve derivadas da função avaliadas em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da série de Taylor de uma função em torno de :
Para construir essa série, precisamos calcular as derivadas de e avaliá-las em .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de :
  1. Primeira derivada:
  1. Segunda derivada:
  1. Terceira derivada:
E assim por diante. Observamos que as derivadas seguem um padrão.

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
  1. Função original:
  1. Primeira derivada:
  1. Segunda derivada:
  1. Terceira derivada:

Passo 5

Com as derivadas avaliadas, podemos montar a série de Taylor:
Substituindo os valores que calculamos:

Resposta

A série de Taylor de em torno de é:

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