Esboce o gráfico das funções abaixo. Para isto, determine a interseção com os eixos (caso exista), o domínio, os máximos e mínimos (caso existam), os intervalos de crescimento de decrescimento, os intervalos em que a função é côncava para cima e para baixo, os pontos de inflexão (caso exista) e calcule todos os limites necessários.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar o gráfico da função
. Para isso, vamos usar conceitos de funções, derivadas e limites. Vamos descobrir onde a função cruza os eixos, qual é o domínio, identificar máximos e mínimos, intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade, pontos de inflexão e calcular alguns limites.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. A função
tem no denominador
. Como
é sempre positivo ou zero,
nunca é zero. Então, não há restrições para
. Portanto, o domínio é todos os números reais:
Passo 3
Vamos encontrar as interseções com os eixos.
-
Interseção com o eixo y: ocorre quando
. Então, a função cruza o eixo y no ponto. -
Interseção com o eixo x: ocorre quando
. Isso acontece quando. Portanto, a interseção com o eixo x também é no ponto .
Passo 4
Agora, vamos descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo, e identificar possíveis máximos e mínimos. Para isso, precisamos calcular a primeira derivada
.
Usando a regra do quociente:
Para encontrar os pontos críticos, igualamos
:
Vamos analisar o sinal de
:
-
Para
: A função está decrescendo. -
Para
: A função está crescendo. -
Para
: A função está decrescendo.
Conclusão:
- Em
: Mudança de decrescimento para crescimento. Isso indica um mínimo. - Em
: Mudança de crescimento para decrescimento. Isso indica um máximo.
Vamos calcular os valores de
nesses pontos:
Passo 5
Agora, vamos analisar a concavidade da função e encontrar possíveis pontos de inflexão. Para isso, vamos calcular a segunda derivada
.
Já temos:
Vamos derivar novamente usando a regra do quociente:
Simplificando:
Para encontrar os pontos de inflexão, onde a concavidade muda, igualamos
:
Vamos analisar o sinal de
:
-
Para
: Concavidade para cima. -
Para
: Concavidade para cima. -
Para
: Concavidade para baixo. -
Para
: Concavidade para cima.
Conclusão:
- Em
, : Possíveis pontos de inflexão.
Vamos verificar a mudança na concavidade:
- Em
: De concavidade para cima para concavidade para baixo. - Em
: De concavidade para baixo para concavidade para cima.
Portanto, os pontos de inflexão são em
e
.
Passo 6
Vamos calcular os limites da função em alguns pontos importantes.
- Limite quando
tende ao infinito:
Portanto, a função assintota horizontal é
.
- Limite quando
tende a 0:
Já sabemos que
, então não há assintota vertical.
Passo 7
Com todas essas informações, conseguimos esboçar o gráfico da função:
- A função passa pela origem
. - Tem um máximo em
com . - Tem um mínimo em
com . - Possui pontos de inflexão em
e . - A função é decrescente para
e , e crescente entre e . - A concavidade é para cima quando
e , e para baixo quando . - Tem uma assintota horizontal em
.
Resposta
O gráfico da função
apresenta uma curva que passa pela origem, com um máximo em
, um mínimo em
, pontos de inflexão em
e
. A função é decrescente para
e
, e crescente entre
e
. Sua concavidade é para cima quando
e
, e para baixo quando
. Além disso, possui uma assintota horizontal em
.
Exercícios relacionados
Esboce um gráfico com as seguintes características
Calcule
, onde
e
são como indicadas abaixo:
d)
d)
Encontre
, onde o campo vetorial e a curva são dadas abaixo:
c)
c)
Esboce as curvas
com as seguintes propriedades:
para
para
pela esquerda e direita de
.