Esboce o gráfico das funções abaixo. Para isto, determine a interseção com os eixos (caso exista), o domínio, os máximos e mínimos (caso existam), os intervalos de crescimento de decrescimento, os intervalos em que a função é côncava para cima e para baixo, os pontos de inflexão (caso exista) e calcule todos os limites necessários.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar o gráfico da função . Para isso, vamos usar conceitos de funções, derivadas e limites. Vamos descobrir onde a função cruza os eixos, qual é o domínio, identificar máximos e mínimos, intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade, pontos de inflexão e calcular alguns limites.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. A função tem no denominador . Como é sempre positivo ou zero, nunca é zero. Então, não há restrições para . Portanto, o domínio é todos os números reais:

Passo 3

Vamos encontrar as interseções com os eixos.
  • Interseção com o eixo y: ocorre quando .
    Então, a função cruza o eixo y no ponto .
  • Interseção com o eixo x: ocorre quando .
    Isso acontece quando . Portanto, a interseção com o eixo x também é no ponto .

Passo 4

Agora, vamos descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo, e identificar possíveis máximos e mínimos. Para isso, precisamos calcular a primeira derivada .
Usando a regra do quociente:
Para encontrar os pontos críticos, igualamos :
Vamos analisar o sinal de :
  • Para :
    A função está decrescendo.
  • Para :
    A função está crescendo.
  • Para :
    A função está decrescendo.
Conclusão:
  • Em : Mudança de decrescimento para crescimento. Isso indica um mínimo.
  • Em : Mudança de crescimento para decrescimento. Isso indica um máximo.
Vamos calcular os valores de nesses pontos:

Passo 5

Agora, vamos analisar a concavidade da função e encontrar possíveis pontos de inflexão. Para isso, vamos calcular a segunda derivada .
Já temos:
Vamos derivar novamente usando a regra do quociente:
Simplificando:
Para encontrar os pontos de inflexão, onde a concavidade muda, igualamos :
Vamos analisar o sinal de :
  • Para :
    Concavidade para cima.
  • Para :
    Concavidade para cima.
  • Para :
    Concavidade para baixo.
  • Para :
    Concavidade para cima.
Conclusão:
  • Em , : Possíveis pontos de inflexão.
Vamos verificar a mudança na concavidade:
  • Em : De concavidade para cima para concavidade para baixo.
  • Em : De concavidade para baixo para concavidade para cima.
Portanto, os pontos de inflexão são em e .

Passo 6

Vamos calcular os limites da função em alguns pontos importantes.
  1. Limite quando tende ao infinito:
Portanto, a função assintota horizontal é .
  1. Limite quando tende a 0:
Já sabemos que , então não há assintota vertical.

Passo 7

Com todas essas informações, conseguimos esboçar o gráfico da função:
  • A função passa pela origem .
  • Tem um máximo em com .
  • Tem um mínimo em com .
  • Possui pontos de inflexão em e .
  • A função é decrescente para e , e crescente entre e .
  • A concavidade é para cima quando e , e para baixo quando .
  • Tem uma assintota horizontal em .

Resposta

O gráfico da função apresenta uma curva que passa pela origem, com um máximo em , um mínimo em , pontos de inflexão em e . A função é decrescente para e , e crescente entre e . Sua concavidade é para cima quando e , e para baixo quando . Além disso, possui uma assintota horizontal em .

Exercícios relacionados

Esboce um gráfico com as seguintes características
Calcule , onde e são como indicadas abaixo:
d)
Encontre , onde o campo vetorial e a curva são dadas abaixo:
c)
Esboce as curvas com as seguintes propriedades: para para pela esquerda e direita de .