Calcule integralC f(x, y) d s, onde
f(x, y)=x^2-y^2 e C é a semicircunferência x^2+y^2=a^2, a>0, com y >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Cálculo, mais especificamente de Cálculo de Integrais de Linha. Precisamos calcular a integral de linha da função ao longo da semicircunferência definida por onde . Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e depois aplicar a fórmula da integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a semicircunferência x = a cos theta y = a sin theta . Como é a metade superior de um círculo de raio , podemos usar coordenadas polares. Vamos definir como o ângulo que vai de a . Assim, as coordenadas e na curva podem ser expressas como:
Aqui, varia de a para cobrir toda a semicircunferência superior.

Passo 3

Agora, precisamos determinar o elemento de comprimento ds = raiz(dxdtheta)^2 + (dydtheta)^2 dtheta ao longo da curva. Em coordenadas paramétricas, dxdtheta = -a sin theta dydtheta = a cos theta é dado por:
ds = raiz(-a sin theta)^2 + (a cos theta)^2 dtheta = raiza^2 sin^2 theta + a^2 cos^2 theta dtheta = raiza^2 (sin^2 theta + cos^2 theta) dtheta = a dtheta
Calculando as derivadas:
Então,
Usamos a identidade trigonométrica para simplificar.

Passo 4

Agora, substituímos a parametrização e o integralC f(x, y) ds = integral0^pi [ (a cos theta)^2 - (a sin theta)^2 ] cdot a dtheta na integral:
(a cos theta)^2 - (a sin theta)^2 = a^2 cos^2 theta - a^2 sin^2 theta = a^2 (cos^2 theta - sin^2 theta)
Simplificando a expressão dentro da integral:
a integral0^pi a^2 (cos^2 theta - sin^2 theta) dtheta = a^3 integral0^pi (cos^2 theta - sin^2 theta) dtheta
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos agora integrar cos^2 theta - sin^2 theta = cos 2theta . Lembramos que:
a^3 integral0^pi cos 2theta dtheta
Então, a integral simplifica para:
a^3 [ 12 sin 2theta ]0^pi = a^32 [ sin 2pi - sin 0 ] = a^32 (0 - 0) = 0
A integral de é , então:

Resposta

A integral vale 0.

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