Calcule
, onde
e
é a semicircunferência
, com
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Cálculo, mais especificamente de Cálculo de Integrais de Linha. Precisamos calcular a integral de linha da função
ao longo da semicircunferência definida por
onde
. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva
e depois aplicar a fórmula da integral de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a semicircunferência
. Como
é a metade superior de um círculo de raio
, podemos usar coordenadas polares. Vamos definir
como o ângulo que vai de
a
. Assim, as coordenadas
e
na curva podem ser expressas como:
Aqui,
varia de
a
para cobrir toda a semicircunferência superior.
Passo 3
Agora, precisamos determinar o elemento de comprimento
ao longo da curva. Em coordenadas paramétricas,
é dado por:
Calculando as derivadas:
Então,
Usamos a identidade trigonométrica
para simplificar.
Passo 4
Agora, substituímos a parametrização e o
na integral:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos agora integrar
. Lembramos que:
Então, a integral simplifica para:
A integral de
é
, então:
Resposta
A integral
vale 0.
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