Calcule , onde
e é a semicircunferência , com .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Cálculo, mais especificamente de Cálculo de Integrais de Linha. Precisamos calcular a integral de linha da função ao longo da semicircunferência definida por onde . Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e depois aplicar a fórmula da integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a semicircunferência . Como é a metade superior de um círculo de raio , podemos usar coordenadas polares. Vamos definir como o ângulo que vai de a . Assim, as coordenadas e na curva podem ser expressas como:
Aqui, varia de a para cobrir toda a semicircunferência superior.

Passo 3

Agora, precisamos determinar o elemento de comprimento ao longo da curva. Em coordenadas paramétricas, é dado por:
Calculando as derivadas:
Então,
Usamos a identidade trigonométrica para simplificar.

Passo 4

Agora, substituímos a parametrização e o na integral:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos agora integrar . Lembramos que:
Então, a integral simplifica para:
A integral de é , então:

Resposta

A integral vale 0.

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(a)