Determine se as seguintes séries convergem ou divergem: sumn=1^infty n!e^n

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo: precisamos determinar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, uma ferramenta essencial da análise de séries que nos ajuda a avaliar o comportamento de séries com termos que envolvem fatorial e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a decidir a convergência ou divergência de uma série infinita calculando o limite da razão entre o termo seguinte e o termo atual da série. A regra é a seguinte:
  • Se L = limn to infty | an+1an | : a série converge.
  • Se : a série diverge.
  • Se : o teste é inconclusivo e precisamos usar outro método.
Matematicamente, o teste é representado por:
onde é o termo geral da série.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão à nossa série an = n!e^n .
Primeiro, identificamos o termo geral da série:
an+1 = (n+1)!e^n+1
Agora, calculamos o próximo termo an+1an = (n+1)!e^n+1 times e^nn! = (n+1) cdot n!e cdot e^n times e^nn! = n+1e :
L = limn to infty n+1e = limn to infty ne + 1e = infty
Em seguida, aplicamos a razão entre e :
Agora, calculamos o limite dessa razão quando tende ao infinito:

Resposta

Como , segundo o Teste da Razão, a série diverge.

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