Calcule as seguintes integrais:
(a) integralC(e^x^3+y^2) d x+(x+y^5) d y, onde C é formada por y=x e y=0,0 <= x <= 1, que vai do ponto (1,1) ao ponto (1,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha que o professor passou. O enunciado pede para calcular a integral
integralC(e^x^3 + y^2) dx + (x + y^5) dy
onde é formada pelas curvas e para , indo do ponto ao ponto .
Vamos precisar usar o conceito de integrais de linha e calcular a integral ao longo de cada segmento que compõe o caminho .

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o caminho está organizado. Ele é composto por duas partes:
  1. Segmento 1 (C₁): De a seguindo a reta .
  2. Segmento 2 (C₂): De a seguindo a reta .
Vamos calcular a integral em cada um desses segmentos e depois somar os resultados.

Passo 3

Calculando a integral em C₁ (y = x):
Para o primeiro segmento, onde y = x Rightarrow dy = dx e integralC1 (e^x^3 + x^2) dx + (x + x^5) dy = integral1^0 (e^x^3 + x^2) dx + (x + x^5) dx varia de 1 a 0.
  • Expressões das variáveis:
    = integral1^0 (e^x^3 + x^2 + x + x^5) dx = integral1^0 (e^x^3 + x + x^2 + x^5) dx
  • Substituindo na integral:
    = -integral0^1 (e^x^3 + x + x^2 + x^5) dx
  • Simplificando:
    integral e^x^3 dx (Esse termo não tem integral e<=mentar, mas vamos mantê-lo assim)
  • Invertendo os limites de integração para facilitar o cálculo:
    integral x dx = x^22
  • Integrando termo a termo:
    integral x^2 dx = x^33 ãê
    integral x^5 dx = x^66
    - [ integral0^1 e^x^3 dx + x^22 + x^33 + x^66 ]
    E = integral0^1 e^x^3 dx
Portanto,
- ( E + 1^22 - 0 + 1^33 - 0 + 1^66 - 0 ) = - ( E + 12 + 13 + 16 )
Como a integral de = - ( E + 1 ) não é elementar, vamos chamá-la de , onde:
Então, a integral em fica:

Passo 4

Calculando a integral em C₂ (y = 0):
Para o segundo segmento, onde y = 0 Rightarrow dy = 0 e integralC2 (e^x^3 + 0^2) dx + (x + 0^5) dy = integral0^1 e^x^3 dx + integral0^1 x cdot 0 , dx varia de 0 a 1.
  • Expressões das variáveis:
    = integral0^1 e^x^3 dx + 0 = E
  • Substituindo na integral:
  • Simplificando:
Onde , a mesma integral que apareceu em .

Passo 5

Somando as integrais dos dois segmentos:
Integral total = Integral em C1 + Integral em C2 = - (E + 1) + E = -1

Resposta

A integral é igual a .

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