Calcule as seguintes integrais:
(a)
, onde
é formada por
e
, que vai do ponto
ao ponto
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha que o professor passou. O enunciado pede para calcular a integral
onde
é formada pelas curvas
e
para
, indo do ponto
ao ponto
.
Vamos precisar usar o conceito de integrais de linha e calcular a integral ao longo de cada segmento que compõe o caminho
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como o caminho
está organizado. Ele é composto por duas partes:
- Segmento 1 (C₁): De
a seguindo a reta . - Segmento 2 (C₂): De
a seguindo a reta .
Vamos calcular a integral em cada um desses segmentos e depois somar os resultados.
Passo 3
Calculando a integral em C₁ (y = x):
Para o primeiro segmento, onde
e
varia de 1 a 0.
-
Expressões das variáveis:
-
Substituindo na integral:
-
Simplificando:
-
Invertendo os limites de integração para facilitar o cálculo:
-
Integrando termo a termo:
Portanto,
Como a integral de
não é elementar, vamos chamá-la de
, onde:
Então, a integral em
fica:
Passo 4
Calculando a integral em C₂ (y = 0):
Para o segundo segmento, onde
e
varia de 0 a 1.
-
Expressões das variáveis:
-
Substituindo na integral:
-
Simplificando:
Onde
, a mesma integral que apareceu em
.
Passo 5
Somando as integrais dos dois segmentos:
Resposta
A integral é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais:
© , onde
é a fronteira da região limitada por
e
, com
.
©
Se
é a região interior à elipse
e exterior à circunferência
, calcule a integral de linha
, onde
está orientada positivamente.
Calcule
, ao longo dos seguintes caminhos fechados, orientados no sentido anti-horário.
© triângulo de vértices e
.
© triângulo de vértices
Calcule
, do ponto
ao ponto
, ao longo dos seguintes caminhos:
(b) interseção das superfícies e
.
(b) interseção das superfícies