Calcule as seguintes integrais:
(a) , onde é formada por e , que vai do ponto ao ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha que o professor passou. O enunciado pede para calcular a integral
onde é formada pelas curvas e para , indo do ponto ao ponto .
Vamos precisar usar o conceito de integrais de linha e calcular a integral ao longo de cada segmento que compõe o caminho .

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o caminho está organizado. Ele é composto por duas partes:
  1. Segmento 1 (C₁): De a seguindo a reta .
  2. Segmento 2 (C₂): De a seguindo a reta .
Vamos calcular a integral em cada um desses segmentos e depois somar os resultados.

Passo 3

Calculando a integral em C₁ (y = x):
Para o primeiro segmento, onde e varia de 1 a 0.
  • Expressões das variáveis:
  • Substituindo na integral:
  • Simplificando:
  • Invertendo os limites de integração para facilitar o cálculo:
  • Integrando termo a termo:
    ãê
Portanto,
Como a integral de não é elementar, vamos chamá-la de , onde:
Então, a integral em fica:

Passo 4

Calculando a integral em C₂ (y = 0):
Para o segundo segmento, onde e varia de 0 a 1.
  • Expressões das variáveis:
  • Substituindo na integral:
  • Simplificando:
Onde , a mesma integral que apareceu em .

Passo 5

Somando as integrais dos dois segmentos:

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais:
© , onde é a fronteira da região limitada por e , com .
Se é a região interior à elipse e exterior à circunferência , calcule a integral de linha , onde está orientada positivamente.
Calcule , ao longo dos seguintes caminhos fechados, orientados no sentido anti-horário.
© triângulo de vértices e .
Calcule , do ponto ao ponto , ao longo dos seguintes caminhos:
(b) interseção das superfícies e .