O conjunto dos pontos interseção da curva
com o cilindro
está contido no plano de equação
Escolha uma opção:
-
-
○
○
-
Escolha uma opção:
○
○
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a equação do plano que contém todos os pontos onde a curva
intercepta o cilindro definido por
. Basicamente, vamos lidar com curvas paramétricas, interseção de superfícies e equações de planos. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar os pontos de interseção e, em seguida, determinar a equação do plano que passa por esses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os valores de
para os quais a curva intercepta o cilindro. Sabemos que o cilindro é definido por
. Como a curva está parametrizada por
, temos:
Substituindo na equação do cilindro:
Então, os valores de
que satisfazem a equação são
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos correspondentes a esses valores de
. Substituindo
e
na equação da curva:
Para
:
Portanto, o ponto é
.
Para
:
Então, o ponto é
.
Passo 4
Agora que temos os dois pontos de interseção,
e
, vamos determinar a equação do plano que passa por esses pontos. Como temos apenas dois pontos, precisamos de mais uma condição para definir o plano. Observando os pontos, percebemos que ambos têm a mesma coordenada
, sugerindo que o plano pode depender dessa informação.
Porém, vamos usar a fórmula geral da equação do plano:
Para determinar os coeficientes
,
,
e
, podemos usar os dois pontos e uma condição adicional. Mas, como temos duas incógnitas (
,
,
) para três equações (dos pontos e uma condição), precisamos de mais uma informação. Uma abordagem eficiente é notar que a relação entre
,
e
pode ser obtida combinando as coordenadas dos pontos.
Observando os pontos
e
, podemos derivar uma equação linear que relaciona
,
e
. Tentando uma combinação linear:
Substituindo os pontos para encontrar
.
Para
:
Resposta
A equação do plano é
.
Exercícios relacionados
Seja
e considere
a curva parametrizada
. Então o valor da integral
é:
Escolha uma opção:
Escolha uma opção:
Calcule
onde
é a curva interseção do cilindro elíptico
com o plano
.
Escolha uma opção:
Escolha uma opção:
-
○
○ -
-
Seja
a curva parametrizada
. O comprimento de
é:
Escolha uma opção:
Escolha uma opção:
-
○ 2 -
-
Converta as equações paramétricas
para a forma cartesiana e encontre onde essa curva intersecta a reta
.