O conjunto dos pontos interseção da curva r(t) = t i + 2t j + e^(t^2 - 1) k com o cilindro x^2 + y^2 = 5 está contido no plano de equação
Escolha uma opção:
  • 2 x - y + 2 z = 0
  • 2*x - y + 2*z = -1
    2 x - y + 2 z = -2
    2 x - y + 2 z = 2
  • 2x - y + 2z = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a equação do plano que contém todos os pontos onde a curva intercepta o cilindro definido por . Basicamente, vamos lidar com curvas paramétricas, interseção de superfícies e equações de planos. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar os pontos de interseção e, em seguida, determinar a equação do plano que passa por esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores de t para os quais a curva intercepta o cilindro. Sabemos que o cilindro é definido por . Como a curva está parametrizada por t, temos:
Substituindo na equação do cilindro:
Então, os valores de t que satisfazem a equação são e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos correspondentes a esses valores de t. Substituindo e na equação da curva:
Para :
Portanto, o ponto é .
Para :
Então, o ponto é .

Passo 4

Agora que temos os dois pontos de interseção, e , vamos determinar a equação do plano que passa por esses pontos. Como temos apenas dois pontos, precisamos de mais uma condição para definir o plano. Observando os pontos, percebemos que ambos têm a mesma coordenada , sugerindo que o plano pode depender dessa informação.
Porém, vamos usar a fórmula geral da equação do plano:
Para determinar os coeficientes A, B, C e D, podemos usar os dois pontos e uma condição adicional. Mas, como temos duas incógnitas ( A, B, C) para três equações (dos pontos e uma condição), precisamos de mais uma informação. Uma abordagem eficiente é notar que a relação entre x, y e z pode ser obtida combinando as coordenadas dos pontos.
Observando os pontos e , podemos derivar uma equação linear que relaciona x, y e z. Tentando uma combinação linear:
Substituindo os pontos para encontrar D.
Para :

Resposta

A equação do plano é .

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