O conjunto dos pontos interseção da curva com o cilindro está contido no plano de equação
Escolha uma opção:


Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a equação do plano que contém todos os pontos onde a curva intercepta o cilindro definido por . Basicamente, vamos lidar com curvas paramétricas, interseção de superfícies e equações de planos. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar os pontos de interseção e, em seguida, determinar a equação do plano que passa por esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores de para os quais a curva intercepta o cilindro. Sabemos que o cilindro é definido por . Como a curva está parametrizada por , temos:
Substituindo na equação do cilindro:
Então, os valores de que satisfazem a equação são e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos correspondentes a esses valores de . Substituindo e na equação da curva:
Para :
Portanto, o ponto é .
Para :
Então, o ponto é .

Passo 4

Agora que temos os dois pontos de interseção, e , vamos determinar a equação do plano que passa por esses pontos. Como temos apenas dois pontos, precisamos de mais uma condição para definir o plano. Observando os pontos, percebemos que ambos têm a mesma coordenada , sugerindo que o plano pode depender dessa informação.
Porém, vamos usar a fórmula geral da equação do plano:
Para determinar os coeficientes , , e , podemos usar os dois pontos e uma condição adicional. Mas, como temos duas incógnitas ( , , ) para três equações (dos pontos e uma condição), precisamos de mais uma informação. Uma abordagem eficiente é notar que a relação entre , e pode ser obtida combinando as coordenadas dos pontos.
Observando os pontos e , podemos derivar uma equação linear que relaciona , e . Tentando uma combinação linear:
Substituindo os pontos para encontrar .
Para :

Resposta

A equação do plano é .

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Seja e considere a curva parametrizada . Então o valor da integral é:
Escolha uma opção:




Calcule onde é a curva interseção do cilindro elíptico com o plano .
Escolha uma opção:


Seja a curva parametrizada . O comprimento de é:
Escolha uma opção:

  • ○ 2

Converta as equações paramétricas para a forma cartesiana e encontre onde essa curva intersecta a reta .