Calcule
ao longo da curva
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha
ao longo da curva , no intervalo de
de
a
. Isso está dentro do conteúdo de cálculo vetorial, especificamente integração de linha. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva, encontrar a expressão para
e substituir as coordenadas
e
pela parametrização dada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
,
e
da curva
:
Passo 3
A integral de linha que temos é
. O termo
representa a distância do ponto
até a origem no plano
. Substituindo
e
:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar
, que é o elemento de arco. Para isso, calculamos a derivada de
:
O módulo de
é:
Então,
.
Passo 5
Substituindo
e
na integral, temos:
Passo 6
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Centro de massa de um fio curvo. Um fio com densidade
se encontra ao longo da curva
. Encontre o centro de massa.
Encontre as integrais de linha de
entre
sobre o caminho
para
Determine o volume do sólido que é limitado acima pelo plano
e abaixo pelo retângulo
.
Calcule