Calcule ao longo da curva

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha ao longo da curva , no intervalo de de a . Isso está dentro do conteúdo de cálculo vetorial, especificamente integração de linha. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva, encontrar a expressão para e substituir as coordenadas e pela parametrização dada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções , e da curva :

Passo 3

A integral de linha que temos é . O termo representa a distância do ponto até a origem no plano . Substituindo e :

Passo 4

Agora, precisamos encontrar , que é o elemento de arco. Para isso, calculamos a derivada de :
O módulo de é:
Então, .

Passo 5

Substituindo e na integral, temos:

Passo 6

Agora, integramos em relação a :

Resposta

O valor da integral é .

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Calcule