Calcule integralC raizx^2+y^2 d s ao longo da curva r(t)=(4 cos t) imath+(4 sen t) jmath+3 t k,-2 pi <= t <= 2 pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha ao longo da curva , no intervalo de de a . Isso está dentro do conteúdo de cálculo vetorial, especificamente integração de linha. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva, encontrar a expressão para e substituir as coordenadas e pela parametrização dada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções x(t) = 4 cos t , y(t) = 4 sen t e z(t) = 3t da curva :

Passo 3

A integral de linha que temos é raizx(t)^2 + y(t)^2 = raiz(4 cos t)^2 + (4 sen t)^2 = raiz16 cos^2 t + 16 sen^2 t = raiz16 (cos^2 t + sen^2 t) = raiz16 cdot 1 = 4 . O termo representa a distância do ponto até a origem no plano . Substituindo e :

Passo 4

Agora, precisamos encontrar r,'(t) = ddt(4 cos t) imath + ddt(4 sen t) jmath + ddt(3t) k = -4 sen t, imath + 4 cos t, jmath + 3, k , que é o elemento de arco. Para isso, calculamos a derivada de |r,'(t)| = raiz(-4 sen t)^2 + (4 cos t)^2 + 3^2 = raiz16 sen^2 t + 16 cos^2 t + 9 = raiz16 (sen^2 t + cos^2 t) + 9 = raiz16 cdot 1 + 9 = raiz25 = 5 :
O módulo de é:
Então, .

Passo 5

Substituindo integralC raizx^2 + y^2 , ds = integral-2pi^2pi 4 cdot 5 , dt = 20 integral-2pi^2pi dt e na integral, temos:

Passo 6

Agora, integramos em relação a 20 integral-2pi^2pi dt = 20 [t]-2pi^2pi = 20 (2pi - (-2pi)) = 20 cdot 4pi = 80pi :

Resposta

O valor da integral é .

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