Encontre as integrais de linha de F entre (0,0,0) e (1,1,1) sobre o caminho C: r(t) = t i + t^2 j + t^4 k, 0 <= t t <= 1 para F = 3y i + 2x j + 4z k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos! A questão pede para encontrar a integral de linha do campo vetorial F ao longo do caminho C que vai de até . Para isso, vamos precisar entender como parametrizar o caminho, calcular a derivada dele e depois integrar o produto escalar do campo vetorial com essa derivada. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o caminho C. A parametrização dada é:
Aqui, varia de 0 a 1, representando o movimento do ponto inicial até o ponto final .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada da parametrização , que é . Essa derivada representa o vetor tangente ao caminho C em cada ponto :

Passo 4

Agora, vamos expressar o campo vetorial F ao longo do caminho C substituindo , e :

Passo 5

A integral de linha é dada pelo produto escalar de F com integrado de 0 a 1:
Simplificando dentro da integral:

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
Calculando as integrais:

Resposta

A integral de linha de F sobre o caminho C é .

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