Encontre as integrais de linha de
entre
sobre o caminho
para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos! A questão pede para encontrar a integral de linha do campo vetorial F ao longo do caminho C que vai de
até
. Para isso, vamos precisar entender como parametrizar o caminho, calcular a derivada dele e depois integrar o produto escalar do campo vetorial com essa derivada. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o caminho C. A parametrização dada é:
Aqui,
varia de 0 a 1, representando o movimento do ponto inicial
até o ponto final
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada da parametrização
, que é
. Essa derivada representa o vetor tangente ao caminho C em cada ponto
:
Passo 4
Agora, vamos expressar o campo vetorial F ao longo do caminho C substituindo
,
e
:
Passo 5
A integral de linha é dada pelo produto escalar de F com
integrado de 0 a 1:
Simplificando dentro da integral:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
Calculando as integrais:
Resposta
A integral de linha de F sobre o caminho C é
.