Encontre as integrais de linha de
entre
sobre o caminho
para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos! A questão pede para encontrar a integral de linha do campo vetorial F ao longo do caminho C que vai de
até
. Para isso, vamos precisar entender como parametrizar o caminho, calcular a derivada dele e depois integrar o produto escalar do campo vetorial com essa derivada. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o caminho C. A parametrização dada é:
Aqui,
varia de 0 a 1, representando o movimento do ponto inicial
até o ponto final
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada da parametrização
, que é
. Essa derivada representa o vetor tangente ao caminho C em cada ponto
:
Passo 4
Agora, vamos expressar o campo vetorial F ao longo do caminho C substituindo
,
e
:
Passo 5
A integral de linha é dada pelo produto escalar de F com
integrado de 0 a 1:
Simplificando dentro da integral:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
Calculando as integrais:
Resposta
A integral de linha de F sobre o caminho C é
.
Exercícios relacionados
Para os seguintes pares de funções determine se elas são LI
(d) e
(d)
Sejam
e
soluções da EDO
onde
. Prove que
(b) Se e
atingem máximo ou mínimo em um mesmo ponto
, então elas não podem formar um conjunto fundamental de soluções nesse intervalo.
(b) Se
Centro de massa de um fio curvo. Um fio com densidade
se encontra ao longo da curva
. Encontre o centro de massa.
Calcule
ao longo da curva