Centro de massa de um fio curvo. Um fio com densidade se encontra ao longo da curva . Encontre o centro de massa.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de centro de massa juntos! Temos um fio curvo com uma densidade que varia ao longo dele, dada por . A curva do fio está descrita pela função vetorial , onde varia de a . Nosso objetivo é encontrar o centro de massa desse fio.
Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como integrais paramétricas e a fórmula do centro de massa para corpos unidimensionais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as coordenadas do ponto ao longo da curva em termos de . A função vetorial está dada por:
Isso significa que as coordenadas são:
  • (não há componente ),
  • ,
  • .

Passo 3

Agora, precisamos calcular o elemento de comprimento ao longo da curva. Para isso, calculamos a derivada de em relação a :
A magnitude dessa derivada nos dá :
Então,

Passo 4

Vamos calcular a massa total do fio usando a fórmula:
Substituindo e :
Então,
Vamos resolver essa integral:
Portanto,

Passo 5

Agora, vamos encontrar as coordenadas do centro de massa .
Como para toda , temos:
Para :
Simplificando:
Calculando a integral:
Portanto,
Para :
Note que a função é ímpar, ou seja, . Integrando de a , o resultado será zero:

Resposta

O centro de massa do fio é .

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