Centro de massa de um fio curvo. Um fio com densidade
se encontra ao longo da curva
. Encontre o centro de massa.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de centro de massa juntos! Temos um fio curvo com uma densidade que varia ao longo dele, dada por
. A curva do fio está descrita pela função vetorial
, onde
varia de
a
. Nosso objetivo é encontrar o centro de massa desse fio.
Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como integrais paramétricas e a fórmula do centro de massa para corpos unidimensionais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as coordenadas do ponto ao longo da curva em termos de
. A função vetorial está dada por:
Isso significa que as coordenadas são:
-
(não há componente ), -
, -
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o elemento de comprimento
ao longo da curva. Para isso, calculamos a derivada de
em relação a
:
A magnitude dessa derivada nos dá
:
Então,
Passo 4
Vamos calcular a massa total
do fio usando a fórmula:
Substituindo
e
:
Então,
Vamos resolver essa integral:
Portanto,
Passo 5
Agora, vamos encontrar as coordenadas do centro de massa
.
Como
para toda
, temos:
Para
:
Simplificando:
Calculando a integral:
Portanto,
Para
:
Note que a função
é ímpar, ou seja,
. Integrando de
a
, o resultado será zero:
Resposta
O centro de massa do fio é
.
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entre
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para
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(d) e
(d)
Calcule
ao longo da curva
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e abaixo pelo retângulo
.