Calcule
ao longo de
, orientada de
para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha que você me passou! A questão pede para calcular a integral
ao longo da curva
, com
, orientada de
para
.
Aqui, a matéria envolvida é o cálculo de integrais de linha no contexto de campos vetoriais. Vamos precisar verificar se o campo vetorial dado é conservativo ou aplicar o Teorema de Green para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o campo vetorial
associado à integral:
Para decidir qual método usar, vamos verificar se
é conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se satisfizer a condição
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Observamos que:
Como
(temos um
na primeira derivada), o campo
não é conservativo. Então, não podemos usar uma função potencial diretamente.
Passo 4
Dado que o campo não é conservativo, vamos aplicar o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva.
O Teorema de Green diz que:
No nosso caso, a curva
não é fechada, mas podemos fechá-la adicionando o segmento de
para
ao longo do eixo
, formando uma curva fechada. Entretanto, como a contribuição desse segmento será a integral que queremos calcular na direção oposta, podemos usar o Teorema de Green diretamente.
Passo 5
Calculando a diferença das derivadas:
Então, a integral dupla sobre a região
será:
Passo 6
A região
é o semicírculo superior de raio 1 centrado em
. A área de um círculo completo de raio 1 é
, então a área de um semicírculo é
.
Portanto:
Passo 7
Aplicando o Teorema de Green, temos que a integral de linha fechada é igual a
. Contudo, como nosso caminho original
vai de
para
, a contribuição do segmento de volta é negativa. Assim, a integral que nos interessa é apenas
.
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Mostre que a função
é continua em todo
em particular mostre que é continua em
Considere o campo vetorial
a) Calcule, caso exista, o potencial associado a
.
Calcule
, sendo
a interseção das superfícies
e
,
e
, percorrida uma do ponto
ao ponto
.
Verifique o Teorema de Green calculando as duas integrais do enunciado (do teorema) para
e
a fronteira da região