Calcule integralC(e^x sen y-2 y-pi) d x+(e^x cos y+e^y) d y ao longo de C:(x-3)^2+y^2=1, y >= 0, orientada de (4,0) para (2,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha que você me passou! A questão pede para calcular a integral ao longo da curva , com , orientada de para .
Aqui, a matéria envolvida é o cálculo de integrais de linha no contexto de campos vetoriais. Vamos precisar verificar se o campo vetorial dado é conservativo ou aplicar o Teorema de Green para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o campo vetorial F(x, y) = (e^x sin y - 2 y - pi, e^x cos y + e^y) associado à integral:
Para decidir qual método usar, vamos verificar se é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se satisfizer a condição .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
partial Ppartial y = partialpartial y (e^x sin y - 2 y - pi) = e^x cos y - 2
partial Qpartial x = partialpartial x (e^x cos y + e^y) = e^x cos y
Observamos que:
partial Ppartial y = e^x cos y - 2 e partial Qpartial x = e^x cos y
Como (temos um na primeira derivada), o campo não é conservativo. Então, não podemos usar uma função potencial diretamente.

Passo 4

Dado que o campo não é conservativo, vamos aplicar o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva.
O Teorema de Green diz que:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dA
No nosso caso, a curva não é fechada, mas podemos fechá-la adicionando o segmento de para ao longo do eixo , formando uma curva fechada. Entretanto, como a contribuição desse segmento será a integral que queremos calcular na direção oposta, podemos usar o Teorema de Green diretamente.

Passo 5

Calculando a diferença das derivadas:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = e^x cos y - (e^x cos y - 2) = 2
Então, a integral dupla sobre a região integral duplaD 2 , dA = 2 times Área de D será:
Á

Passo 6

A região integral duplaD 2 , dA = 2 times pi2 = pi é o semicírculo superior de raio 1 centrado em . A área de um círculo completo de raio 1 é , então a área de um semicírculo é .
Portanto:

Passo 7

Aplicando o Teorema de Green, temos que a integral de linha fechada é igual a . Contudo, como nosso caminho original vai de para , a contribuição do segmento de volta é negativa. Assim, a integral que nos interessa é apenas .

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados