Calcule ao longo de , orientada de para .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha que você me passou! A questão pede para calcular a integral ao longo da curva , com , orientada de para .
Aqui, a matéria envolvida é o cálculo de integrais de linha no contexto de campos vetoriais. Vamos precisar verificar se o campo vetorial dado é conservativo ou aplicar o Teorema de Green para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o campo vetorial associado à integral:
Para decidir qual método usar, vamos verificar se é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se satisfizer a condição .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
Observamos que:
Como (temos um na primeira derivada), o campo não é conservativo. Então, não podemos usar uma função potencial diretamente.

Passo 4

Dado que o campo não é conservativo, vamos aplicar o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva.
O Teorema de Green diz que:
No nosso caso, a curva não é fechada, mas podemos fechá-la adicionando o segmento de para ao longo do eixo , formando uma curva fechada. Entretanto, como a contribuição desse segmento será a integral que queremos calcular na direção oposta, podemos usar o Teorema de Green diretamente.

Passo 5

Calculando a diferença das derivadas:
Então, a integral dupla sobre a região será:
Á

Passo 6

A região é o semicírculo superior de raio 1 centrado em . A área de um círculo completo de raio 1 é , então a área de um semicírculo é .
Portanto:

Passo 7

Aplicando o Teorema de Green, temos que a integral de linha fechada é igual a . Contudo, como nosso caminho original vai de para , a contribuição do segmento de volta é negativa. Assim, a integral que nos interessa é apenas .

Resposta

O valor da integral é .

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Mostre que a função
é continua em todo em particular mostre que é continua em
Considere o campo vetorial
a) Calcule, caso exista, o potencial associado a .
Calcule , sendo a interseção das superfícies e , e , percorrida uma do ponto ao ponto .
Verifique o Teorema de Green calculando as duas integrais do enunciado (do teorema) para e a fronteira da região