Calcule integralC-2 y d x+3 z d y+x d z, sendo C a interseção das superfícies x^2+4 y^2=1 e x^2+z^2=1, com y >= 0 e z >= 0, percorrida uma do ponto (1,0,0) ao ponto (-1,0,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha sobre uma curva integralC -2y , dx + 3z , dy + x , dz . Essa curva é a interseção de duas superfícies: e , com as condições e . A integral que precisamos calcular é:
Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco de cálculo vetorial, especialmente integração de linha e parametrização de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva . Ela é a interseção das duas superfícies:
  1. Elipse:
  2. Cilindro:
Como ambas as equações têm , podemos igualar e encontrar uma relação entre e . Além disso, as condições e restringem para a primeira parte das curvas.

Passo 3

Vamos parametrizar a curva x = cos t . Observando as duas equações, uma boa escolha é usar um parâmetro cos^2 t + 4y^2 = 1 Rightarrow y = 12 sin t que represente o ângulo em torno do eixo cos^2 t + z^2 = 1 Rightarrow z = sin t . Vamos definir:
x = cos t y = 12 sin t z = sin t
Para a elipse , substituindo :
Para o cilindro , substituindo :
Então, nossa parametrização fica:
Onde varia de a para ir de a , mantendo e .

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas dx = -sin t , dt , dy = 12 cos t , dt e dz = cos t , dt em relação a :

Passo 5

Substituímos essas expressões na integral original:
integralC -2y , dx + 3z , dy + x , dz = integral0^pi ( -2 cdot 12 sin t cdot (-sin t) + 3 cdot sin t cdot 12 cos t + cos t cdot cos t ) dt
Simplificando:
integral0^pi ( sin^2 t + 32 sin t cos t + cos^2 t ) dt

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
sin^2 t + cos^2 t = 1
Então:
integral0^pi ( 1 + 32 sin t cos t ) dt
Além disso, sabemos que integral0^pi ( 1 + 34 sin 2t ) dt , então:

Passo 7

Integrando termo a termo:
integral0^pi 1 , dt = pi
integral0^pi 34 sin 2t , dt = 34 [ -12 cos 2t ]0^pi = 34 ( -12 (cos 2pi - cos 0) ) = 34 ( -12 (1 - 1) ) = 0
Então, a integral total é:
pi + 0 = pi

Resposta

O valor da integral é .

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