Calcule , sendo a interseção das superfícies e , e , percorrida uma do ponto ao ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha sobre uma curva . Essa curva é a interseção de duas superfícies: e , com as condições e . A integral que precisamos calcular é:
Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco de cálculo vetorial, especialmente integração de linha e parametrização de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva . Ela é a interseção das duas superfícies:
Elipse:
Cilindro:
Como ambas as equações têm , podemos igualar e encontrar uma relação entre e . Além disso, as condições e restringem para a primeira parte das curvas.
Passo 3
Vamos parametrizar a curva . Observando as duas equações, uma boa escolha é usar um parâmetro que represente o ângulo em torno do eixo . Vamos definir:
Para a elipse , substituindo :
Para o cilindro , substituindo :
Então, nossa parametrização fica:
Onde varia de a para ir de a , mantendo e .
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas dx = -sin t , dt , dy = 12 cos t , dt e dz = cos t , dt em relação a :
Passo 5
Substituímos essas expressões na integral original:
integralC -2y , dx + 3z , dy + x , dz = integral0^pi ( -2 cdot 12 sin t cdot (-sin t) + 3 cdot sin t cdot 12 cos t + cos t cdot cos t ) dt
Simplificando:
integral0^pi ( sin^2 t + 32 sin t cos t + cos^2 t ) dt
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
sin^2 t + cos^2 t = 1
Então:
integral0^pi ( 1 + 32 sin t cos t ) dt
Além disso, sabemos que integral0^pi ( 1 + 34 sin 2t ) dt , então: