Calcule , sendo a interseção das superfícies e , e , percorrida uma do ponto ao ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha sobre uma curva . Essa curva é a interseção de duas superfícies: e , com as condições e . A integral que precisamos calcular é:
Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco de cálculo vetorial, especialmente integração de linha e parametrização de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva . Ela é a interseção das duas superfícies:
Elipse:
Cilindro:
Como ambas as equações têm , podemos igualar e encontrar uma relação entre e . Além disso, as condições e restringem para a primeira parte das curvas.
Passo 3
Vamos parametrizar a curva . Observando as duas equações, uma boa escolha é usar um parâmetro que represente o ângulo em torno do eixo . Vamos definir:
Para a elipse , substituindo :
Para o cilindro , substituindo :
Então, nossa parametrização fica:
Onde varia de a para ir de a , mantendo e .
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas , e em relação a :
Passo 5
Substituímos essas expressões na integral original: