Calcule , sendo a interseção das superfícies e , e , percorrida uma do ponto ao ponto .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha sobre uma curva . Essa curva é a interseção de duas superfícies: e , com as condições e . A integral que precisamos calcular é:
Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco de cálculo vetorial, especialmente integração de linha e parametrização de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva . Ela é a interseção das duas superfícies:
  1. Elipse:
  2. Cilindro:
Como ambas as equações têm , podemos igualar e encontrar uma relação entre e . Além disso, as condições e restringem para a primeira parte das curvas.

Passo 3

Vamos parametrizar a curva . Observando as duas equações, uma boa escolha é usar um parâmetro que represente o ângulo em torno do eixo . Vamos definir:
Para a elipse , substituindo :
Para o cilindro , substituindo :
Então, nossa parametrização fica:
Onde varia de a para ir de a , mantendo e .

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas , e em relação a :

Passo 5

Substituímos essas expressões na integral original:
Simplificando:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então:
Além disso, sabemos que , então:

Passo 7

Integrando termo a termo:
Então, a integral total é:

Resposta

O valor da integral é .

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