Considere o campo vetorial
a) Calcule, caso exista, o potencial associado a .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial e a pergunta é para descobrir se existe um potencial associado a esse campo. Se existir, a gente vai encontrar essa função potencial. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e potenciais.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se o campo vetorial é conservativo. Um campo é conservativo se ele pode ser representado como o gradiente de uma função potencial , ou seja, . Uma condição importante para isso é que o campo seja irrotacional, ou seja, que sua rotacional seja zero.

Passo 3

Vamos calcular a rotacional de . No caso de campos bidimensionais, a rotacional é dada por:
Onde e .

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:

Passo 5

Substituindo na fórmula da rotacional:
Como a rotacional é zero, o campo é conservativo e, portanto, existe uma função potencial tal que .

Passo 6

Agora, vamos encontrar a função potencial . Sabemos que:
Vamos integrar essa expressão em relação a :

Passo 7

Fazendo a substituição , temos . Assim:
Onde é a constante de integração.

Resposta

O potencial associado ao campo vetorial é:

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