Considere o campo vetorial
a) Calcule, caso exista, o potencial associado a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial
e a pergunta é para descobrir se existe um potencial associado a esse campo. Se existir, a gente vai encontrar essa função potencial. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e potenciais.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se o campo vetorial
é conservativo. Um campo é conservativo se ele pode ser representado como o gradiente de uma função potencial
, ou seja,
. Uma condição importante para isso é que o campo seja irrotacional, ou seja, que sua rotacional seja zero.
Passo 3
Vamos calcular a rotacional de
. No caso de campos bidimensionais, a rotacional é dada por:
Onde
e
.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Passo 5
Substituindo na fórmula da rotacional:
Como a rotacional é zero, o campo
é conservativo e, portanto, existe uma função potencial
tal que
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a função potencial
. Sabemos que:
Vamos integrar essa expressão em relação a
:
Passo 7
Fazendo a substituição
, temos
. Assim:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
O potencial associado ao campo vetorial
é:
Exercícios relacionados
Se
, onde
e
determine
(2.5) Converta para coordenadas cilindricas e calcule
Mostre que a função
é continua em todo
em particular mostre que é continua em
Calcule
ao longo de
, orientada de
para
.