Verifique o Teorema de Green calculando as duas integrais do enunciado (do teorema) para e a fronteira da região

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar o Teorema de Green calculando duas integrais para o campo vetorial . A curva é a fronteira da região que é uma elipse dada por . Vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de com uma integral dupla sobre . Para resolver, precisaremos entender o Teorema de Green e como aplicar derivadas parciais nas componentes do campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Green. Ele afirma que para um campo vetorial e uma curva fechada que delimita uma região , temos:
Isso significa que a integral de linha ao redor de é igual à integral dupla sobre da diferença das derivadas parciais de em relação a e de em relação a .

Passo 3

Vamos identificar e no nosso campo vetorial:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green, temos:
Então, a integral dupla simplifica para vezes a área de .

Passo 5

Agora, vamos calcular a área da região , que é uma elipse dada por . Sabemos que a área de uma elipse é . Aqui, e , então:
Á

Passo 6

Voltando à nossa integral dupla:
Á

Passo 7

Agora, precisamos calcular a integral de linha ao redor de :
Isso confirma que o Teorema de Green está válido para o campo vetorial e a região dada.

Resposta

A integral de linha ao redor de é igual a , confirmando o Teorema de Green.

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Seja
.
a) Calcule , onde é a circunferência orientada no sentido anti-horário.