Verifique o Teorema de Green calculando as duas integrais do enunciado (do teorema) para
e
a fronteira da região
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar o Teorema de Green calculando duas integrais para o campo vetorial
. A curva
é a fronteira da região
que é uma elipse dada por
. Vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de
com uma integral dupla sobre
. Para resolver, precisaremos entender o Teorema de Green e como aplicar derivadas parciais nas componentes do campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Green. Ele afirma que para um campo vetorial
e uma curva fechada
que delimita uma região
, temos:
Isso significa que a integral de linha ao redor de
é igual à integral dupla sobre
da diferença das derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
.
Passo 3
Vamos identificar
e
no nosso campo vetorial:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green, temos:
Então, a integral dupla simplifica para
vezes a área de
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a área da região
, que é uma elipse dada por
. Sabemos que a área de uma elipse
é
. Aqui,
e
, então:
Passo 6
Voltando à nossa integral dupla:
Passo 7
Agora, precisamos calcular a integral de linha ao redor de
:
Isso confirma que o Teorema de Green está válido para o campo vetorial e a região dada.
Resposta
A integral de linha ao redor de
é igual a
, confirmando o Teorema de Green.
Exercícios relacionados
Calcule
, sendo
a interseção das superfícies
e
,
e
, percorrida uma do ponto
ao ponto
.
Calcule
ao longo de
, orientada de
para
.
Calcule
, onde
é 0 segmento de reta que inicia em
e termina em
.
Seja
a) Calcule