Mostre que a função
é continua em todo em particular mostre que é continua em

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida de duas formas diferentes: uma para todos os pontos que não são e outra especificamente para o ponto . Nosso objetivo aqui é mostrar que essa função é contínua em todo o plano , especialmente no ponto .
Matéria envolvida: Continuidade de funções de duas variáveis.
O que vamos precisar: Definição de continuidade em duas variáveis, limites de funções multivariadas e a técnica de mudança para coordenadas polares para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Para uma função ser contínua no ponto , é necessário que:
  1. esteja definida.
  2. O limite de quando se aproxima de exista.
  3. Esse limite seja igual a .
No nosso caso, queremos mostrar que é contínua em . Sabemos que , então precisamos mostrar que:

Passo 3

Para calcular esse limite, uma boa estratégia é usar coordenadas polares. Em coordenadas polares, a relação entre e é dada por:
Onde representa a distância do ponto à origem, e é o ângulo com o eixo .

Passo 4

Vamos substituir e por suas expressões em polares na função :
Simplificando, temos:

Passo 5

Agora, podemos simplificar a expressão cancelando no numerador e denominador:

Passo 6

Agora, queremos encontrar o limite quando tende a 0:
Observe que o denominador é sempre positivo e limitado, já que e são sempre menores ou iguais a 1. Portanto, o comportamento do limite depende principalmente de como se comporta.

Passo 7

Como tende a 0, e o numerador é , o numerador também tende a 0, já que está multiplicado por . O denominador, por outro lado, permanece limitado e positivo. Portanto, o limite inteiro tende a 0.
Matematicamente:

Resposta

Portanto, mostramos que:
Assim, a função é contínua em todo , especialmente no ponto .

Exercícios relacionados

Considere o campo vetorial
a) Calcule, caso exista, o potencial associado a .
Se , onde e determine
Calcule ao longo de , orientada de para .
Calcule , sendo a interseção das superfícies e , e , percorrida uma do ponto ao ponto .