Mostre que a função
f(x, y)=lll x^2 yx^2+2 y^2, & se & (x, y) neq(0,0) 0, & se & (x, y)=(0,0)
é continua em todo R^2 em particular mostre que é continua em (0,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida de duas formas diferentes: uma para todos os pontos que não são e outra especificamente para o ponto . Nosso objetivo aqui é mostrar que essa função é contínua em todo o plano , especialmente no ponto .
Matéria envolvida: Continuidade de funções de duas variáveis.
O que vamos precisar: Definição de continuidade em duas variáveis, limites de funções multivariadas e a técnica de mudança para coordenadas polares para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Para uma função lim(x, y) to (0, 0) x^2 yx^2 + 2 y^2 = 0 ser contínua no ponto , é necessário que:
  1. esteja definida.
  2. O limite de quando se aproxima de exista.
  3. Esse limite seja igual a .
No nosso caso, queremos mostrar que é contínua em . Sabemos que , então precisamos mostrar que:

Passo 3

Para calcular esse limite, uma boa estratégia é usar coordenadas polares. Em coordenadas polares, a relação entre x = r costheta y = r sintheta e é dada por:
Onde representa a distância do ponto à origem, e é o ângulo com o eixo .

Passo 4

Vamos substituir f(x, y) = x^2 yx^2 + 2 y^2 = (r costheta)^2 (r sintheta)(r costheta)^2 + 2 (r sintheta)^2 e f(r, theta) = r^2 cos^2theta cdot r sinthetar^2 cos^2theta + 2 r^2 sin^2theta = r^3 cos^2theta sinthetar^2 (cos^2theta + 2 sin^2theta) por suas expressões em polares na função :
Simplificando, temos:

Passo 5

Agora, podemos simplificar a expressão cancelando f(r, theta) = r^3 cos^2theta sinthetar^2 (cos^2theta + 2 sin^2theta) = r cos^2theta sinthetacos^2theta + 2 sin^2theta no numerador e denominador:

Passo 6

Agora, queremos encontrar o limite quando limr to 0 r cos^2theta sinthetacos^2theta + 2 sin^2theta tende a 0:
Observe que o denominador é sempre positivo e limitado, já que e são sempre menores ou iguais a 1. Portanto, o comportamento do limite depende principalmente de como se comporta.

Passo 7

Como limr to 0 r cos^2theta sinthetacos^2theta + 2 sin^2theta = 0 tende a 0, e o numerador é , o numerador também tende a 0, já que está multiplicado por . O denominador, por outro lado, permanece limitado e positivo. Portanto, o limite inteiro tende a 0.
Matematicamente:

Resposta

Portanto, mostramos que:
lim(x, y) to (0, 0) x^2 yx^2 + 2 y^2 = 0 = f(0,0)
Assim, a função é contínua em todo , especialmente no ponto .

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