Mostre que a função
é continua em todo
em particular mostre que é continua em
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
definida de duas formas diferentes: uma para todos os pontos
que não são
e outra especificamente para o ponto
. Nosso objetivo aqui é mostrar que essa função é contínua em todo o plano
, especialmente no ponto
.
Matéria envolvida: Continuidade de funções de duas variáveis.
O que vamos precisar: Definição de continuidade em duas variáveis, limites de funções multivariadas e a técnica de mudança para coordenadas polares para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Para uma função
ser contínua no ponto
, é necessário que:
-
esteja definida. - O limite de
quando se aproxima de exista. - Esse limite seja igual a
.
No nosso caso, queremos mostrar que
é contínua em
. Sabemos que
, então precisamos mostrar que:
Passo 3
Para calcular esse limite, uma boa estratégia é usar coordenadas polares. Em coordenadas polares, a relação entre
e
é dada por:
Onde
representa a distância do ponto
à origem, e
é o ângulo com o eixo
.
Passo 4
Vamos substituir
e
por suas expressões em polares na função
:
Simplificando, temos:
Passo 5
Agora, podemos simplificar a expressão cancelando
no numerador e denominador:
Passo 6
Agora, queremos encontrar o limite quando
tende a 0:
Observe que o denominador
é sempre positivo e limitado, já que
e
são sempre menores ou iguais a 1. Portanto, o comportamento do limite depende principalmente de como
se comporta.
Passo 7
Como
tende a 0, e o numerador é
, o numerador também tende a 0, já que está multiplicado por
. O denominador, por outro lado, permanece limitado e positivo. Portanto, o limite inteiro tende a 0.
Matematicamente:
Resposta
Portanto, mostramos que:
Assim, a função
é contínua em todo
, especialmente no ponto
.
Exercícios relacionados
Considere o campo vetorial
a) Calcule, caso exista, o potencial associado a
.
Se
, onde
e
determine
Calcule
ao longo de
, orientada de
para
.
Calcule
, sendo
a interseção das superfícies
e
,
e
, percorrida uma do ponto
ao ponto
.