Calcule
onde C é a hélice definida por , com .

Passo 1

Tá, vamos começar entendendo o que a gente precisa fazer. A questão pede para calcular a integral de uma função ao longo de uma curva , que é uma hélice definida por com variando de a . Isso envolve cálculo de integrais de linha, onde a gente integra uma função ao longo de uma trajetória no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva . A parametrização dada é , onde vai de a . Isso significa que para cada valor de , temos um ponto na curva com coordenadas .

Passo 3

Agora, vamos expressar a função que queremos integrar em termos de . A função é . Substituindo as coordenadas da curva, temos:
Como , simplifica para:

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar , que representa um elemento infinitesimal de comprimento ao longo da curva. Para isso, vamos calcular a derivada de em relação a :
O comprimento do vetor derivada é:
Então, .

Passo 5

Agora, podemos montar a integral de linha usando as expressões que encontramos:
Podemos tirar a constante para fora da integral:

Passo 6

Vamos calcular a integral:
Calculando cada parte:
Somando as duas partes:

Passo 7

Multiplicando pela constante :

Resposta

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A posição de uma partícula que se move no espaço, no instante , é dada por
Escreva a função vetorial que descreve a trajetória da partícula.
Diseuta se o campo é um campo conservativo e determine uma função escalar tal que .
Esboce a curva associada a cada uma das funções vetoriais:
.
Faça um esboço da curva dada pela função vetorial .
.