Tá, vamos começar entendendo o que a gente precisa fazer. A questão pede para calcular a integral de uma função ao longo de uma curva , que é uma hélice definida por com variando de a . Isso envolve cálculo de integrais de linha, onde a gente integra uma função ao longo de uma trajetória no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva . A parametrização dada é , onde vai de a . Isso significa que para cada valor de , temos um ponto na curva com coordenadas .
Passo 3
Agora, vamos expressar a função que queremos integrar em termos de . A função é . Substituindo as coordenadas da curva, temos:
Como , simplifica para:
Passo 4
Em seguida, precisamos encontrar , que representa um elemento infinitesimal de comprimento ao longo da curva. Para isso, vamos calcular a derivada de em relação a :
O comprimento do vetor derivada é:
Então, .
Passo 5
Agora, podemos montar a integral de linha usando as expressões que encontramos: