Calcule
integralC(x^2+y^2+z^2) d s
onde C é a hélice definida por r(t)=(cos t, sin t, t), com t in[0,2 pi].

Passo 1

Tá, vamos começar entendendo o que a gente precisa fazer. A questão pede para calcular a integral de uma função ao longo de uma curva , que é uma hélice definida por com variando de a . Isso envolve cálculo de integrais de linha, onde a gente integra uma função ao longo de uma trajetória no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva . A parametrização dada é , onde vai de a . Isso significa que para cada valor de , temos um ponto na curva com coordenadas .

Passo 3

Agora, vamos expressar a função que queremos integrar em termos de f(cos t, sin t, t) = (cos t)^2 + (sin t)^2 + t^2 . A função é f(t) = 1 + t^2 . Substituindo as coordenadas da curva, temos:
Como , simplifica para:

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar r'(t) = ( -sin t, cos t, 1 ) , que representa um elemento infinitesimal de comprimento ao longo da curva. Para isso, vamos calcular a derivada de |r'(t)| = raiz(-sin t)^2 + (cos t)^2 + 1^2 = raizsin^2 t + cos^2 t + 1 = raiz1 + 1 = raiz2 em relação a :
O comprimento do vetor derivada é:
Então, .

Passo 5

Agora, podemos montar a integral de linha usando as expressões que encontramos:
integralC (x^2 + y^2 + z^2) ds = integral0^2pi (1 + t^2) raiz2, dt
Podemos tirar a constante raiz2 integral0^2pi (1 + t^2) dt para fora da integral:

Passo 6

Vamos calcular a integral:
integral0^2pi (1 + t^2) dt = integral0^2pi 1, dt + integral0^2pi t^2, dt
Calculando cada parte:
integral0^2pi 1, dt = t gr|0^2pi = 2pi
integral0^2pi t^2, dt = t^33 gr|0^2pi = (2pi)^33 = 8pi^33
Somando as duas partes:
2pi + 8pi^33 = 6pi + 8pi^33 = 6pi + 8pi^33

Passo 7

Multiplicando pela constante raiz2 times 6pi + 8pi^33 = raiz2 (6pi + 8pi^3)3 = 6raiz2pi + 8raiz2pi^33 = 2raiz2pi + 8raiz2pi^33 :

Resposta

integralC(x^2+y^2+z^2) d s = 2raiz2pi + 8raiz2pi^33

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