A posição de uma partícula que se move no espaço, no instante , é dada por
Escreva a função vetorial que descreve a trajetória da partícula.

Passo 1

Beleza! Vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem as funções que descrevem a posição de uma partícula no espaço em cada instante de tempo . O objetivo aqui é transformar essas funções , e em uma função vetorial que represente a trajetória completa da partícula. Então, vamos usar conhecimentos de vetores e movimento no espaço para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função vetorial no espaço 3D é geralmente representada como . Essa notação usa vetores coordenados para mostrar como a posição muda com o tempo em cada uma das três direções: , e .

Passo 3

Agora, vamos pegar as funções que nos deram:
A gente vai substituir essas funções na fórmula da função vetorial.

Passo 4

Substituindo os valores, ficamos com:
Isso significa que, para cada valor de , a posição da partícula é dada por esse vetor específico.

Resposta

A função vetorial que descreve a trajetória da partícula é:

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Diseuta se o campo é um campo conservativo e determine uma função escalar tal que .
(b) Lembrando que o div mede a tendência de o fluido divergir do ponto , dado o ponto , determine o se o campo vetorial está espalhando, se concentrando ou é incompressível em .
Calcule
onde C é a hélice definida por , com .
Esboce a curva associada a cada uma das funções vetoriais:
.