A posição de uma partícula que se move no espaço, no instante
, é dada por
Escreva a função vetorial que descreve a trajetória da partícula.
Passo 1
Beleza! Vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem as funções que descrevem a posição de uma partícula no espaço em cada instante de tempo
. O objetivo aqui é transformar essas funções
,
e
em uma função vetorial que represente a trajetória completa da partícula. Então, vamos usar conhecimentos de vetores e movimento no espaço para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função vetorial no espaço 3D é geralmente representada como
. Essa notação usa vetores coordenados para mostrar como a posição muda com o tempo em cada uma das três direções:
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos pegar as funções que nos deram:
A gente vai substituir essas funções na fórmula da função vetorial.
Passo 4
Substituindo os valores, ficamos com:
Isso significa que, para cada valor de
, a posição da partícula é dada por esse vetor específico.
Resposta
A função vetorial que descreve a trajetória da partícula é:
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Diseuta se o campo
é um campo conservativo e determine uma função escalar
tal que
.
(b) Lembrando que o div
mede a tendência de o fluido divergir do ponto
, dado o ponto
, determine o se o campo vetorial está espalhando, se concentrando ou é incompressível em
.
Calcule
onde C é a hélice definida por
, com
.
Esboce a curva associada a cada uma das funções vetoriais:
.