Esboce a curva associada a cada uma das funções vetoriais:
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçar a curva associada à função vetorial , onde pertence aos números reais. Isso está dentro do conteúdo de funções vetoriais e representação de curvas no plano. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar essa função vetorial em uma equação cartesianas em função de , o que vai facilitar o esboço da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes e da função vetorial:
Aqui, e são expressos em termos do parâmetro .

Passo 3

Para eliminar o parâmetro e encontrar uma relação direta entre e , vamos resolver uma das equações para e substituir na outra. Vamos resolver a equação de para :
Essa é uma equação quadrática em . Usando a fórmula de Bhaskara para resolver para :
Agora, substituímos essa expressão de na equação de :
Mas, isso pode complicar bastante a equação. Então, vamos tentar outra abordagem: subtrair a equação de da equação de :
Agora, substituímos na equação de ou . Vamos na equação de :
Multiplicando tudo por 4 para eliminar o denominador:
Explicando: estamos transformando a relação paramétrica em uma equação que relaciona e diretamente, o que é útil para esboçar a curva.

Passo 4

Vamos simplificar a equação obtida:
Essa é a equação geral da curva no plano . Analisando, vemos que é uma cônica, possivelmente uma elipse ou hipérbole, mas para facilitar o esboço, podemos analisar alguns pontos específicos.

Resposta

A curva associada à função vetorial é uma cônica definida pela equação . Para esboçar, você pode plotar diversos pontos substituindo valores de e desenhar a curva correspondente no plano .

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Calcule
onde C é a hélice definida por , com .
A posição de uma partícula que se move no espaço, no instante , é dada por
Escreva a função vetorial que descreve a trajetória da partícula.
Faça um esboço da curva dada pela função vetorial .
.
Calcule os seguinte limites:
.