Esboce a curva associada a cada uma das funções vetoriais:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçar a curva associada à função vetorial
, onde
pertence aos números reais. Isso está dentro do conteúdo de funções vetoriais e representação de curvas no plano. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar essa função vetorial em uma equação cartesianas
em função de
, o que vai facilitar o esboço da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes
e
da função vetorial:
Aqui,
e
são expressos em termos do parâmetro
.
Passo 3
Para eliminar o parâmetro
e encontrar uma relação direta entre
e
, vamos resolver uma das equações para
e substituir na outra. Vamos resolver a equação de
para
:
Essa é uma equação quadrática em
. Usando a fórmula de Bhaskara para resolver para
:
Agora, substituímos essa expressão de
na equação de
:
Mas, isso pode complicar bastante a equação. Então, vamos tentar outra abordagem: subtrair a equação de
da equação de
:
Agora, substituímos
na equação de
ou
. Vamos na equação de
:
Multiplicando tudo por 4 para eliminar o denominador:
Explicando: estamos transformando a relação paramétrica em uma equação que relaciona
e
diretamente, o que é útil para esboçar a curva.
Passo 4
Vamos simplificar a equação obtida:
Essa é a equação geral da curva no plano
. Analisando, vemos que é uma cônica, possivelmente uma elipse ou hipérbole, mas para facilitar o esboço, podemos analisar alguns pontos específicos.
Resposta
A curva associada à função vetorial
é uma cônica definida pela equação
. Para esboçar, você pode plotar diversos pontos substituindo valores de
e desenhar a curva correspondente no plano
.
Exercícios relacionados
Calcule
onde C é a hélice definida por
, com
.
A posição de uma partícula que se move no espaço, no instante
, é dada por
Escreva a função vetorial que descreve a trajetória da partícula.
Faça um esboço da curva dada pela função vetorial
.
.
Calcule os seguinte limites:
.