Faça um esboço da curva dada pela função vetorial .
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer fazer um esboço da curva dada pela função vetorial no intervalo . Isso envolve entender funções vetoriais e como elas parametrize uma curva no plano. Para resolver isso, vamos precisar separar as componentes da função, calcular alguns pontos chave e então desenhar a curva com base nesses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a função em suas componentes e . Aqui:
Isso significa que para cada valor de , temos um ponto no plano.

Passo 3

Agora, vamos calcular alguns valores de dentro do intervalo dado e encontrar os correspondentes pontos .
Então, temos os seguintes pontos:

Passo 4

Com esses pontos em mãos, vamos entender como a curva se comporta. Observando os valores de , percebemos que é uma parábola que se abre para cima, com o vértice em , . Já a componente é uma função linear, o que significa que conforme aumenta, também aumenta de forma constante.
Isso indica que a curva será uma parábola deslocada no plano, movendo-se da esquerda para a direita conforme aumenta.

Passo 5

Agora, vamos plotar os pontos calculados no plano :
Conectando esses pontos suavemente, a curva terá a forma de uma parábola que desce até o ponto e depois sobe novamente, criando uma espécie de “U” inclinada para a direita.

Resposta

O esboço da curva dada pela função vetorial no intervalo é uma parábola que abre para cima, com o vértice no ponto . À medida que aumenta de -2 a 3, a curva se move da esquerda para a direita, passando pelos pontos , , , , até . O esboço resultante mostra uma parábola simétrica em relação ao eixo vertical que passa por .

Exercícios relacionados

Esboce a curva associada a cada uma das funções vetoriais:
.
Calcule
onde C é a hélice definida por , com .
Calcule os seguinte limites:
.
Faça um esboço da curva dada pela função vetorial .
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