Faça um esboço da curva dada pela função vetorial
.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer fazer um esboço da curva dada pela função vetorial
no intervalo
. Isso envolve entender funções vetoriais e como elas parametrize uma curva no plano. Para resolver isso, vamos precisar separar as componentes da função, calcular alguns pontos chave e então desenhar a curva com base nesses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a função
em suas componentes
e
. Aqui:
Isso significa que para cada valor de
, temos um ponto
no plano.
Passo 3
Agora, vamos calcular alguns valores de
dentro do intervalo dado e encontrar os correspondentes pontos
.
Então, temos os seguintes pontos:
Passo 4
Com esses pontos em mãos, vamos entender como a curva se comporta. Observando os valores de
, percebemos que é uma parábola que se abre para cima, com o vértice em
,
. Já a componente
é uma função linear, o que significa que conforme
aumenta,
também aumenta de forma constante.
Isso indica que a curva será uma parábola deslocada no plano, movendo-se da esquerda para a direita conforme
aumenta.
Passo 5
Agora, vamos plotar os pontos calculados no plano
:
Conectando esses pontos suavemente, a curva terá a forma de uma parábola que desce até o ponto
e depois sobe novamente, criando uma espécie de “U” inclinada para a direita.
Resposta
O esboço da curva dada pela função vetorial
no intervalo
é uma parábola que abre para cima, com o vértice no ponto
. À medida que
aumenta de -2 a 3, a curva se move da esquerda para a direita, passando pelos pontos
,
,
,
,
até
. O esboço resultante mostra uma parábola simétrica em relação ao eixo vertical que passa por
.
Exercícios relacionados
Esboce a curva associada a cada uma das funções vetoriais:
.
Calcule
onde C é a hélice definida por
, com
.
Calcule os seguinte limites:
.
Faça um esboço da curva dada pela função vetorial
.
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