Diseuta se o campo é um campo conservativo e determine uma função escalar tal que .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial . A tarefa é descobrir se esse campo é conservativo, ou seja, se existe uma função escalar tal que o gradiente de seja igual a ( ). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas parciais e condições de conservatividade.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se o campo é conservativo. Em duas dimensões, um campo vetorial é conservativo se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a . Vamos calcular essas derivadas:
Calculando as derivadas parciais:
Como , o campo é conservativo.

Passo 3

Agora que sabemos que o campo é conservativo, vamos encontrar a função escalar tal que . Isso significa que:
Vamos integrar em relação a para encontrar :
Aqui, é uma função que depende apenas de .
Agora, derivamos em relação a e igualamos à segunda equação:
Isso implica que:
Integrando em relação a , obtemos:
Onde é uma constante de integração. Podemos ignorar na função potencial, já que ele não afeta o gradiente.
Portanto, a função é:

Resposta

O campo é conservativo e a função escalar tal que é:

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(b) Lembrando que o div mede a tendência de o fluido divergir do ponto , dado o ponto , determine o se o campo vetorial está espalhando, se concentrando ou é incompressível em .
Dadas as funções vetoriais e e a função escalar , calcule:
.
A posição de uma partícula que se move no espaço, no instante , é dada por
Escreva a função vetorial que descreve a trajetória da partícula.
Calcule
onde C é a hélice definida por , com .