Diseuta se o campo
é um campo conservativo e determine uma função escalar
tal que
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial
. A tarefa é descobrir se esse campo é conservativo, ou seja, se existe uma função escalar
tal que o gradiente de
seja igual a
(
). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas parciais e condições de conservatividade.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se o campo
é conservativo. Em duas dimensões, um campo vetorial
é conservativo se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Vamos calcular essas derivadas:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, o campo
é conservativo.
Passo 3
Agora que sabemos que o campo é conservativo, vamos encontrar a função escalar
tal que
. Isso significa que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos à segunda equação:
Isso implica que:
Integrando
em relação a
, obtemos:
Onde
é uma constante de integração. Podemos ignorar
na função potencial, já que ele não afeta o gradiente.
Portanto, a função
é:
Resposta
O campo
é conservativo e a função escalar
tal que
é: