Diseuta se o campo F(x, y) = (2 x y^2 - y^3, 2 x^2 y - 3 x y^2 + 2) é um campo conservativo e determine uma função escalar f tal que nabla f = F.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial . A tarefa é descobrir se esse campo é conservativo, ou seja, se existe uma função escalar tal que o gradiente de seja igual a ( ). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas parciais e condições de conservatividade.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se o campo é conservativo. Em duas dimensões, um campo vetorial é conservativo se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a . Vamos calcular essas derivadas:
Calculando as derivadas parciais:
Como , o campo é conservativo.

Passo 3

Agora que sabemos que o campo é conservativo, vamos encontrar a função escalar tal que . Isso significa que:
Vamos integrar em relação a para encontrar :
Aqui, é uma função que depende apenas de .
Agora, derivamos em relação a e igualamos à segunda equação:
Isso implica que:
Integrando em relação a , obtemos:
Onde é uma constante de integração. Podemos ignorar na função potencial, já que ele não afeta o gradiente.
Portanto, a função é:

Resposta

O campo é conservativo e a função escalar tal que é:

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