Integrar as equações diferenciais homogêneas.
(y - x) dx + (y + x) dy

Passo 1

Beleza, o problema que temos aqui é integrar uma equação diferencial homogênea. Especificamente, a equação dada é:
Vamos precisar usar técnicas de equações diferenciais homogêneas, que nos ajudam a resolver equações onde todos os termos têm o mesmo grau quando expressos em termos de x e y.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é homogênea. Uma equação diferencial de primeira ordem é considerada homogênea se todas as funções envolvidas podem ser expressas como funções homogêneas do mesmo grau.
Observando nossa equação:
Podemos ver que tanto quanto são funções de grau 1 (porque tanto y quanto x têm grau 1). Então, a equação é realmente homogênea.

Passo 3

Agora que confirmamos que a equação é homogênea, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir:
Isso significa que . Agora, precisamos encontrar a derivada de y em relação a x:

Passo 4

Substituindo e na equação original, temos:
Simplificando:
Distribuindo os termos:
Juntando os termos com :
Simplificando ainda mais:
Dividindo toda a equação por para facilitar:

Passo 5

Reorganizando a equação:
Para resolver essa equação, vamos separar as variáveis v e x:
Agora, vamos integrar ambos os lados.

Passo 6

Integrando o lado esquerdo:
Primeiro, vamos decompôr a fração:
Através de cálculo, encontramos que:
Portanto:
Resolvendo a integral, chegamos a:
Integrando o lado direito:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Substituindo , temos:
Onde C é a constante de integração.

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