Beleza, o problema que temos aqui é integrar uma equação diferencial homogênea. Especificamente, a equação dada é:
Vamos precisar usar técnicas de equações diferenciais homogêneas, que nos ajudam a resolver equações onde todos os termos têm o mesmo grau quando expressos em termos de e .
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é homogênea. Uma equação diferencial de primeira ordem é considerada homogênea se todas as funções envolvidas podem ser expressas como funções homogêneas do mesmo grau.
Observando nossa equação:
Podemos ver que tanto quanto são funções de grau 1 (porque tanto quanto têm grau 1). Então, a equação é realmente homogênea.
Passo 3
Agora que confirmamos que a equação é homogênea, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir:
Isso significa que . Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a :
Passo 4
Substituindo e na equação original, temos:
Simplificando:
Distribuindo os termos:
Juntando os termos com :
Simplificando ainda mais:
Dividindo toda a equação por para facilitar:
Passo 5
Reorganizando a equação:
Para resolver essa equação, vamos separar as variáveis e :