Calcule integralC x d x+x^2 d y de (-1,0) a (1,0) ao longo
(b) de C: r(t)=(-cos t, sen t), 0 <= t <= pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer nesse exercício é calcular uma integral de linha, que é uma ferramenta da matemática usada para somar valores ao longo de um caminho específico. Aqui, a função que queremos integrar é , e o caminho que vamos percorrer é dado por para . Vamos precisar usar cálculo vetorial, especificamente a parametrização de curvas e a substituição de variáveis na integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Essa é a parametrização de uma semicircunferência de raio 1, centrada na origem, indo de a . Isso significa que nosso caminho começa em (-1, 0) quando e termina em (1, 0) quando .

Passo 3

Agora, precisamos expressar x = -cos t e y = sen t em termos de dxdt = sen t . Da parametrização, temos:
dydt = cos t
Também precisamos encontrar as derivadas de e em relação a :

Passo 4

Substituindo essas expressões na integral original, temos:
integralC x , dx + x^2 , dy = integral0^pi ( x dxdt + x^2 dydt ) dt
Substituindo = integral0^pi ( (-cos t)(sen t) + (-cos t)^2 (cos t) ) dt e , e :

Passo 5

Vamos simplificar cada termo dentro da integral:
(-cos t)(sen t) = -cos t sen t
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos separar a integral em duas partes:
Calcularemos cada uma delas separadamente.

Passo 7

Primeira integral:
Vamos usar substituição. Seja integral0^pi -cos t sen t , dt , então . A integral se torna:
integral u , du = u^22 + C = cos^2 t2 + C
Avaliando de 0 a cos^2 t2 |0^pi = cos^2 pi2 - cos^2 02 = 12 - 12 = 0 :

Passo 8

Segunda integral:
integral0^pi cos^3 t , dt
Podemos reescrever integral0^pi cos t (1 - sen^2 t) , dt = integral0^pi cos t , dt - integral0^pi cos t sen^2 t , dt como usando a identidade :
Primeira parte:
Segunda parte, usamos substituição novamente. Seja , então integral0^pi cos t , dt = sen t |0^pi = 0 - 0 = 0 :
Avaliando de 0 a integral cos t sen^2 t , dt = integral u^2 , du = u^33 + C = sen^3 t3 + C :
Portanto, a segunda integral também é 0.

Resposta

Somando as duas integrais, temos:
0 + 0 = 0
Então, o valor da integral de linha é 0.

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