Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer nesse exercício é calcular uma integral de linha, que é uma ferramenta da matemática usada para somar valores ao longo de um caminho específico. Aqui, a função que queremos integrar é , e o caminho que vamos percorrer é dado por para . Vamos precisar usar cálculo vetorial, especificamente a parametrização de curvas e a substituição de variáveis na integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . Essa é a parametrização de uma semicircunferência de raio 1, centrada na origem, indo de a . Isso significa que nosso caminho começa em (-1, 0) quando e termina em (1, 0) quando .
Passo 3
Agora, precisamos expressar e em termos de . Da parametrização, temos:
Também precisamos encontrar as derivadas de e em relação a :
Passo 4
Substituindo essas expressões na integral original, temos:
Substituindo e , e :
Passo 5
Vamos simplificar cada termo dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos separar a integral em duas partes:
Calcularemos cada uma delas separadamente.
Passo 7
Primeira integral:
Vamos usar substituição. Seja , então . A integral se torna:
Avaliando de 0 a :
Passo 8
Segunda integral:
Podemos reescrever como usando a identidade :
Primeira parte:
Segunda parte, usamos substituição novamente. Seja , então :