Calcule de a ao longo
(b) de

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer nesse exercício é calcular uma integral de linha, que é uma ferramenta da matemática usada para somar valores ao longo de um caminho específico. Aqui, a função que queremos integrar é , e o caminho que vamos percorrer é dado por para . Vamos precisar usar cálculo vetorial, especificamente a parametrização de curvas e a substituição de variáveis na integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Essa é a parametrização de uma semicircunferência de raio 1, centrada na origem, indo de a . Isso significa que nosso caminho começa em (-1, 0) quando e termina em (1, 0) quando .

Passo 3

Agora, precisamos expressar e em termos de . Da parametrização, temos:
Também precisamos encontrar as derivadas de e em relação a :

Passo 4

Substituindo essas expressões na integral original, temos:
Substituindo e , e :

Passo 5

Vamos simplificar cada termo dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos separar a integral em duas partes:
Calcularemos cada uma delas separadamente.

Passo 7

Primeira integral:
Vamos usar substituição. Seja , então . A integral se torna:
Avaliando de 0 a :

Passo 8

Segunda integral:
Podemos reescrever como usando a identidade :
Primeira parte:
Segunda parte, usamos substituição novamente. Seja , então :
Avaliando de 0 a :
Portanto, a segunda integral também é 0.

Resposta

Somando as duas integrais, temos:
Então, o valor da integral de linha é 0.

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Calcule de a ao longo
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