Calcule integralC(3 x+2 y) d x+(3 x-y) d y de (0,0) a (1,1), ao longo
(a) do segmento de reta

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha passo a passo. O enunciado pede para calcular a integral de integralC(3x + 2y) dx + (3x - y) dy de (0,0) a (1,1) ao longo de um segmento de reta. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais de linha, que envolve avaliar integrais ao longo de curvas no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o caminho C pelo qual vamos integrar. Como é um segmento de reta de (0,0) a (1,1), podemos parametrizar essa reta. A parametrização mais simples é:
r(t) = (t, t), onde t in [0, 1]
Isso significa que x = t e y = t enquanto t varia de 0 a 1.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de x e y em relação a t:
dxdt = 1 e dydt = 1
Essas derivadas nos ajudarão a substituir dx e dy na integral original.

Passo 4

Vamos substituir os valores de x, y, dx e dy na integral:
integralC(3x + 2y) dx + (3x - y) dy = integral0^1 [3t + 2t] cdot 1 , dt + [3t - t] cdot 1 , dt
Simplificando os termos dentro da integral:
= integral0^1 (5t) , dt + integral0^1 (2t) , dt

Passo 5

Agora, somamos as duas integrais:
integral0^1 5t , dt + integral0^1 2t , dt = integral0^1 (5t + 2t) , dt = integral0^1 7t , dt

Passo 6

Vamos calcular a integral definida:
integral0^1 7t , dt = 7 integral0^1 t , dt = 7 [ t^22 ]0^1 = 7 ( 1^22 - 0^22 ) = 7 ( 12 ) = 72

Resposta

O valor da integral é 72.

Exercícios relacionados